维纳空间上对称扩散的收敛

一、Convergence of Symmetric Diffusions on Wiener Spaces（论文文献综述）

刘玥良^[1]（2021）在《面向空间非规则数据的图学习方法研究》文中研究表明基于图学习的数据关联结构挖掘技术,在金融决策、社交分析以及气象预测等领域发挥着重要作用。随着应用领域日益多元化,大规模观测数据呈现空间分布不规则特征,传统的时序信号分析方法直接应用到此类空间非规则数据中面临着限制。图信号处理是针对空间非规则数据的新兴研究领域,利用图的天然关联特性,为数据表征和潜在关联结构的挖掘提供一种新的视角。本文在图信号处理理论基础上,对空间非规则数据的图学习问题展开深入研究,提出了基于空时平滑性的图学习方法,低秩和空时平滑性联合约束的图学习方法,以及基于交替方向乘子法的分布式时变图学习方法。一旦获得有效的图结构,将会极大地促进后续的数据分析和处理,从而更好地指导未来的决策。本文的主要研究内容和创新点如下:1.针对图上时变信号（time-varying graph signal）的图学习问题,首先提出了一种联合空-时表征的信号模型,用于刻画图上时变信号的局部特性,即空间相关性和时间相关性。然后,在该信号模型的基础上提出了一种基于空时平滑性的图学习方法（STSGL）。相比于传统的图学习方法,STSGL方法充分挖掘了图上时变信号局部的空时特性,将信号的空间关联结构和时间关联结构有机地融合到空时平滑性的表征中,进而通过促进信号的空时平滑性来指导图结构的学习。对于信号模型中时间关联结构已知和未知的两种情况,所提方法分别采用交替优化和块坐标下降的方式进行求解,适应了不同场景下的需求。多种合成数据和真实数据实验均表明,所提的STSGL方法具有比现有图学习方法更高的图学习精度。2.针对图学习中由于信号模型与信号特征失配带来的性能瓶颈问题,首先对真实应用的空时信号进行分析,挖掘其在局部的空时特性和全局的低秩特性,提出了一种基于局部和全局表征的信号模型。然后基于该信号模型,将图学习问题转化为联合低秩信号恢复和图拉普拉斯矩阵推断的问题,提出了一种低秩和空时平滑性联合约束的图学习方法（GL-LRSS）。该方法通过引入空时平滑性和低秩特性的惩罚项分别约束信号的局部相关性和全局相关性,从而达到利用信号更全面的相关性信息,实现了对图结构的有效学习。在多种合成数据集和真实数据集上的仿真实验验证了所提模型的有效性,同时相比于现有的图学习方法,所提的GL-LRSS方法在相同情形下能够进一步提高图学习的性能。3.针对动态结构的图学习问题,提出了一种基于空-时表征的时变图学习（time-varying graph learning）框架。首先考虑到图结构的时变特性,将传统的静态图上信号（graph signal）模型扩展为基于动态图表征的信号模型,并在信号表征的同时建模了图结构的两种典型的演进模型:边平滑变化的图演进模型和单节点突变的图演进模型。然后,通过引入惩罚函数来约束图结构的动态演进,将动态结构的图学习问题统一描述为一个凸优化问题,提出了一种基于交替方向乘子法的分布式时变图学习方法（DTVGL）。该方法利用了交替方向乘子法（ADMM）的求解策略,将大规模的图结构推断问题分解为多个局部的子问题,从而实现了局部子问题的分布式并行求解。仿真实验表明,所提的DTVGL方法能够有效解决不同图演进形式下的时变图学习问题,并且相比于静态图学习方法,所提方法能够在准确推断图结构的同时识别该结构的时变特性。

马宁^[2]（2021）在《带马氏链的倒向（双重）随机微分方程及其对应的（随机）偏微方程问题研究》文中指出1992年,Peng和Pardoux[70]首次给出了非线性倒向随机微分方程（BSDE）适应解的存在唯一性。此后,由于BSDE以及正倒向随机微分方程（FBSDE）良好的结构,其不仅在随机分析（[18,74]）、偏微分方程（[68,12]）等基础领域得到广泛研究,也为金融数学（[27,20]）、随机控制（[72,75]）等应用领域提供了坚实的理论支撑。然而,仅由布朗运动驱动的正倒向系统仅能有效刻画模型中连续的参数,但在现实世界中,有很多发生频率较低（偶发）,但对系统有着长远深刻影响的事件。以股票市场为例,市场趋势变化（牛市熊市转换）、政策变动等均为不连续且偶发的状态,但对股票市场影响深远。仅由布朗运动驱动的经典扩散模型不能很好的刻画上述事件。马氏链作为一种状态离散、时间连续的随机跳过程,其特有的性质恰好可以对上述事件刻画,该思想最早由Hamilton[31]提出,现已得到广泛关注与研究（[105,87]）。因此,我们引入一类连续时间有限状态的马氏链,并使之与BSDE系统进行耦合,进而研究一类由布朗运动与马氏链共同驱动的混合系统。在此类系统中,系数中包含马氏链,以马氏链的状态刻画偶发事件等,使得系统状态依赖于事件变化。比如在股票市场中,我们在股票价格模型的系数中引入含两个状态的马氏链,其状态分别代表牛市和熊市,此时的系统可以刻画由牛市熊市转换对股票价格的影响。此外,在研究受噪声干扰的部分可观测信息问题时,带马氏链的滤波技术起到关键作用（[2,88]）。以上问题的数学理论支撑本质上是带马氏链的正向或者倒向系统。因此,本文将致力于研究带马氏链的倒向随机系统,包括带马氏链的倒向微分方程（BSDEM）,带马氏链的倒向双重随机微分方程（BDSDEM）以及正倒向系统对应的偏微分方程（PDE）、随机偏微分方程（SPDE）问题。本文主要由以下六章组成:论文第一章,阐述本文所涉及问题的研究背景以及研究意义,并详细说明此后每章的主要学术贡献。论文第二章,主要研究带马氏链的随机微分方程（SDEM）解的随机流性质以及其上的Malliavin分析,为接下来研究倒向及倒向双重随机微分方程做准备。首先,我们得到SDEM的解可以构成一个随机流,然后,利用经典的解的估计方法,我们得到SDEM解的高阶估计,并利用同伦理论,得到其解可形成一个微分同胚。最终,我们得到一个推广的等价范数定理,其在研究与SDEM耦合的BSDEM及BDSDEM在Sobolev空间中的解问题时起到关键作用。此外,为了研究SDEM的解在维纳空间中的正则性以及后面第五章关于中关于“Z”的表示,我们研究了一类随机变量的M alliavin可微性问题,此类随机变量不仅带有维纳过程的信息,还带有与维纳过程独立的信息。利用独立性,我们得到了此类随机变量的维纳-伊藤混沌分解,并最后推广了着名的Clark-Ocone公式。利用逼近方法,最终得到SDEM的解在维纳空间中的正则性。论文第三章,本章主要研究了与BSDEM相关联的PDE的光滑解与Sobolev弱解。首先,利用经典的估计技术,我们得到BSDEM解的高阶估计以及其解关于参数的连续依赖性和光滑性。利用逼近技术,我们得到BSDEM中“Z”的表示,由此我们得到了 PDE光滑解的存在唯一性。在经典的Lipschitz条件下,BSDEM的解的存在唯一性已经有结果。但是,在研究其对应的PDE的Sobolev弱解问题时,我们发现如果将经典Lipschitz条件弱化为一种带权重函数的泛函形式的Lipschitz条件,得到的BSDEM的解能够更加自然的描述PDE的解。因此,利用第二章中得到的等价范数定理,Riesz表示定理,磨光技术以及一些经典的估计方法,我们首先得到了在泛函Lipschitz条件下BSDEM解的存在唯一性。最后,利用逼近技术,我们得到了 PDE的Sobolev弱解的概率解释。论文第四章,在本章中,我们主要研究了 BDSDEM解的存在唯一性以及比较定理。首先,我们给出了一个推广的伊藤公式;然后,在经典的Lipschitz条件下,利用鞅表示定理以及逼近技术,我们得到了其解的存在唯一性;随后,利用Yosida逼近,我们研究了在单调条件下,BDSDEM解的存在唯一性,并分别给出了在以上两种条件下的比较定理。最后,我们研究了在局部单调条件下,BDSDM解的存在唯一性。通过构造一列全局单调的BDSDEM,我们证明了其极限即为在局部单调条件下BDSDEM的唯一解。论文第五章,本章主要研究了与BDSDEM相关联的SPDE的光滑解与Sobolev弱解问题。首先,利用经典的估计技术,我们得到BDSDEM解的高阶估计以及其解关于参数的连续依赖性和光滑性。利用第二章的Malliavin分析,我们得到BSDEM中“Z”的表示,由此我们得到了 SPDE光滑解的存在唯一性。同样地,在泛函形式的Lipschitz条件下,BDSDEM的解可以更加自然的描述SPDE。因此,利用第二章中得到的等价范数定理,Riesz表示定理,磨光技术以及一些经典的估计方法,我们首先得到了在泛函Lipschitz条件下BDSDEM解的存在唯一性,利用逼近技术,我们得到了其对应的SPDE的Sobolev弱解的存在唯一性。最后,利用时间方向上的有限差分法以及空间方向的谱配点法,我们给出了此类SPDE的一个数值结果。论文第六章,总结本文的研究结果并给出一些研究展望。

陈雅洁^[3]（2020）在《Wasserstein空间中关于测度的偏导数及其在受控的平均场系统中的应用》文中研究表明平均场随机微分方程,也称为Mckean-Vlasov方程,在统计力学、物理学、量子力学和量子化学等领域都有着广泛的应用。2007年,J.M.Lasry,P.L.Lions[62]首次给出了此类方程在经济、金融以及随机微分对策中的应用。Buckdahn,Djehiche,Li,Peng[16]完全借助于随机方法研究了一类特殊的平均场问题,推导得出一种新型的倒向随机微分方程,称为平均场倒向随机微分方程。自此,越来越多的学者开始研究这类McKean-Vlasov型方程,相关的最优控制问题也受到广泛关注。2013年,法国科学院院士 P.L.Lions[73]首次引入了函数关于测度的可微性的定义,这将平均场问题的研究提升到了一个新的高度。受此启发,Buckdahn,Li,Ma[19]研究了一类推广的平均场随机控制系统,其系数不仅依赖于状态过程,还依赖于状态过程的分布,他们借助于Peng[84]提出的变分方程的二阶泰勒展开方法给出了全局随机最大值原理。在受控系统中,“参与者”需要基于自己已掌握的信息进行决策。但是现实中会经常出现不完全信息的情况,“参与者”无法观测到所有的信息或者并不是所有信息都是有效的,只能通过掌握的部分信息来进行决策。因此,研究基于部分观测的随机控制问题具有重要的现实意义。本论文主要研究了两方面的内容:一、在对第二边际分布μ2=μ（Rd ×·）没有正则性假设的情况下,研究函数以第二边际分布μ2为条件,关于分布μ的偏可微性质;二、研究Wasserstein空间中关于测度的偏导数在随机控制问题中的应用:带部分观测的平均场受控系统下的最大值原理。下面将详细的介绍论文的内容及结构。第一章主要介绍了论文第二章和第三章中所研究的问题以及研究背景。第二章主要研究了 Wasserstein空间中关于测度的偏导数。设（E,ε）为任意一个可测空间,研究函数f:P2,0（Rd × E）→R的偏导数,其中,P2,0（Rd × E）是定义在（Rd × E,B（Rd）（?）ε）上的概率测度μ的集合并且满足其第一边际分布μ1:=μ（·×E）具有有限二阶矩。概率测度μ关于其第二边际分布μ2（·）=μ（Rd ×·）具有如下分解:μ（dxdz）=q（dx,z）μ2（dz）。本章所研究的是f关于q（dx,z）的偏导数,简单来讲,我们研究的是以第二边际分布为条件的关于测度μ的偏导数。本章的主要创新点:P.L.Lions[73]中给出了函数g:P2（Rd）→R关于测度的导数,这里的P2（Rd）是定义在Rd上具有有限二阶矩的概率测度全体。我们注意到,由于空间（E,ε）仅满足可测性条件,在这种情况下函数f:P2,0（Rd × E）→ R关于测度μ是不具备全局可微性的,本章的研究内容推广了[73]中的结果。第三章探讨了 Wasserstein空间中关于测度的偏导数在随机控制问题中的应用,受控状态过程由带部分信息的一般平均场随机微分方程驱动。控制集仅仅是一个可测集,受控系统的系数（即动力系统的系数和代价泛函的系数）依赖于受控状态过程X,控制v,关于X的部分信息以及（X,v）的联合分布,我们研究了这个控制系统下最优控制的必要条件,即随机最大值原理。变分方程的二阶展开是证明随机最大值原理的关键,但是由于系数b和σ不仅依赖于E[Xt1]FtW1],而且还依赖于联合分布P（x,v）,所以在证明二阶展开时有一些技术上的困难,这里采用了新方法证明了相关估计。本章的主要创新点:将控制集推广到一般的可测集情形,并且控制系统是一个推广的受控平均场随机微分方程且依赖于部分信息。处理部分信息以及分布项的估计都采用了技术性较强的方法,其中,对于反映平均场受控系统特性的估计,我们提出了一个算子方法来进行证明,这是一个与经典情形不同的全新方法。上述两章来自于论文:R.Buckdahn,Y.Chen,J.Li.Partial derivative with respect to the measure and its application to controlled mean-field systems with partial information.已投稿.本文由上述三个章节组成,以下是本文的章节结构和主要结论。一、第一章引言;二、第二章Wasserstein空间中关于测度的偏导数;三、第三章带部分观测的平均场受控系统的随机最大值原理。第二章:我们主要研究了在对第二边际分布μ2=μ（Rd×·）没有正则性假设的条件下,函数以第二边际分布μ2为条件,关于分布μ的偏可微性质。设（E,ε）为任意一可测空间。我们记P（Rd × E）为定义在（Rd ×E,B（Rd）（?）ε）上所有概率测度的集合,同时我们记P2,0（Rd × E）:={μ∈P（Rd × E）:∫Rd×E|x|2μ(（dxdz）<+∞}.对概率测度μ∈P2,0（Rd ×E）,我们记μ的边缘分布为μ1（A）:=μ（A × E）,A∈B（Rd）,μ2（B）:=μ（Rd × B）,B∈ ε,给定函数f:P2,0（Rd × E）→ R,以及任意μ ∈P2,0（Rd × E）,我们想要研究f在μ处关于q（dx,:）的偏可微性质,其中μ（dxdz）=q（dx,z）μ2（dz）。我们将q记作qμ。记（?）（ξ,v）:=f（P（ξ,v））,（ξ,v）∈L2（F;Rd）× L0（F;E）,为f在 L2（F;Rd）× L0（F;E）上的提升函数。在Frechet,导数的意义下,我们如下定义函数f的偏可微性。定义0.1 称f:P2,0（Rd × E）→ R在μ∈P2,0（Rd × E）处关于qμ是偏可微的,如果存在某个随机变量（ξ,v）∈L2（F;Rd）× L0（F;E）,且其联合分布为P（ξ,v）=μ,使得ξ’→fv（（ξ’）:=f（（ξ’,v）作为定义在Hilbert空间L2（F;Rd）上的函数在ξ处是Frechet可导的。记Frechet导数为（?）∈ L（（L2（F;Rd）;R）,根据Riesz表示定理可以得到,存在随机变量（?）∈ L2（F;Rd）,有f（P（ξ+η,v）-f（P（ξ,v）=（?）+o（|η|L2）=（?）+o（|η|L2）对于任意η∈ L2（F;Rd）且 |η|L2:=（E[|2]）1/2→ 0。为了证明关于分布的偏可微性质,我们需要讨论以下技术性结论。引理0.2（Ω,F）是一个Radon空间,即,这个空间中的任意Borel概率测度是内正则的。Radon空间有如下的等价性质:（Ω,F）满足正则条件概率性质,i.e.,对任意（Ω,F）上的概率测度P,任意可测空间（E,ε）及任意可测映射v:Ω→E,存在正则条件概率测度P|v=.:E ×F→[0,1],使得ⅰ）P|v=z（·）是F上的概率测度,对任意z∈E;ⅱ）P|v=（A）:E→[0,1]是ε-可测的,对任意A ∈ F;ⅲ）P{A|v=z}=P|v=z（A）,Pv（dz）-a.s.,对任意z ∈E及A ∈F。设ξ,θ∈L2（F;Rd）,v是一个定义在（Ω,F,P）上取值于可测空间（E,ε）的可测映射。设γ∈L2（F,Rd）为一独立于（ξ,θ,v）的标准Gaussian向量。对任意ε>0,我们取θε:=θ+εγ。命题0.3 引用上述记号,对任意ε>0,存在一个可测映射Hε:Rd × E→Rd使得,Pv（dz）-a.s.对于 z∈E,ⅰ）PHε（θε,v）=z=Pξ|vz,ⅱ）E[|ξ-θε|2|v=z]≥E[|Hε（θε,v）-θε|2|v=z].现在我们将P.L.Lions给出的关于概率测度可微性的基础结果做出以下推广:根据引理0.2以及命题0.3,我们可以将关于测度的偏导数刻画为一个Borel函数,且这个函数仅通过分布F（ξ,v）内依赖于（ξ,v）。定理0.4在以上假设和记号下,存在μ（dydz）-a.s.唯一可测函数g:Rd× E →Rd使得Dfv（ξ）=g（ξ,v）,P-a.s.另外,函数g=（y,z）依赖于（ξ,v）仅仅通过它的分布μ=P（ξ,v）。由上面的定理,我们可以定义:（（?）μf）1（μ,y,z）:=g（y,z）,（y,z）∈Rd × E,并称其为函数f:P2,0（Rd ×E）→ R在μ处关于q（dy,z）的偏导数。此外,我们注意到这个函数是μ（dydz）-a.s.唯一定义在Rd × E中的。第三章:研究了平均场框架下,带部分信息的受控系统的最优控制问题。本章中的控制集仅仅是一个可测集,受控系统的系数（即动力系统的系数和代价泛函的系数）依赖于受控状态过程X,控制v,关于X的部分信息以及（X,v）的联合分布,我们研究了这个控制系统下最优控制的必要条件,即全局随机最大值原理。我们考虑有如下状态方程的最优控制问题（?）t∈[0,T],最优控制问题的目标是在可容许控制集uad上最小化如下代价泛函:J（v）:=E[∫0T(t,P（xt,v,vt）,Xtv,E[Xtv|FtW1],vt+φ（PXTv,XTv,E[XTv|FTW1]）],称u ∈ uad为最优控制,如果满足#12为了得到随机最大值原理,我们需要引入如下一阶和二阶伴随方程:#12#12其中H（t,μ,x,y,v,p,q）:=pb（t,μ,x,y,v）+qσ（t,μ,x,y,v）-f（t,μ,x,y,v）.现在我们介绍一阶和二阶变分方程:（?）t∈[0,T],#12定义最优控制u的针状变分如下:Uε（t）:=v（t）IEε（tl）+u（t）IEεc（t）,t∈[0,T],记X:=Xu和Xε:=Xuε分别是关于u和uε的受控状态过程。下面的命题验证了变分方程的正确性。命题0.5假设（H3.2.1）成立,对任意p>1,存在一个依赖于p的常数Cp>0,使得,对任意ε ∈(0,1],#12#12下面两个技巧性的估计对得到Xε的二阶展开式起到了重要作用。命题0.6设θ ∈ LF2（0,T）且满足Eθt2]≤Cθ,t∈[0,T]。则有:存在一个函数ρ:[0,T]× R+→ R+满足:当 ε→ 0 时,ρt（ε）→ 0,并且ρt（ε）≤ Cθ’,t ∈[0,T],ε>0,且有| E[θtXt1]|≤ρt（ε）（?）,ε>0,t∈[0,T],其中cθ,Cθ’为仅通过E[θt2]∈[0,T]的界限依赖于θ的常数。引理0.7假设（H3.2.1）,（H3.2.2）以及（H3.2.3）成立。那么,对于任意的p ≥ 2,存在某个函数ρt（p）:R+→ R+满足:当ε → 0时,ρt（p）（ε）→ 0,并且ρt（p）（ε）≤Cp,t∈[0,T],ε>0,对某个Cp ∈ R+成立,且有E[|E[Xt1|FtW1]|p]<ε2/p（ε）,t ∈[0,T],ε>0.下面的命题给出了关于Xε的二阶展开式,也是证明最大值原理的关键所在。命题0.8假设（H3.2.1）,（H3.2.2）以及（H3.2.3）成立。那么,对于任意的1 ≤ p≤2/3,我们有#12其中ρ（·）是定义在（0,∝）上的正值函数,使得ρ（ε）→0,当ε→0时。现在,我们给出如下随机最大值原理。定理0.9假设（H3.2.1）,（H3.2.2）以及（H3.2.3）成立,并且设（u,X）为控制问题（3.2.1）-（3.2.3）的最优解。则有:对任意的v∈uad,a.e.t∈[0,T],P-a.s.H（t,P（Xt,vt）,Xt,E[Xt |FtW1],vt,pt,qt）-H（t,P（Xt,ut）,Xt,E[Xt|FtW1],ut,pt,qt）+1/2Pt|σ（t,P（Xt,vt）,Xt,E[Xt|FtW1],vt）-σ(t,P（Xt,ut）,Xf,E[Xt|FtW1],ut|2≤0.其中,F-适应过程（p,q）和（P,Q）,分别为一阶、二阶伴随方程的解。此外,考虑标准维纳空间（Ω=ρC（[0,T];R2）,F=B（Ω）∨NP,P）,W=（W1,W2）为坐标过程,如果对于任意的（t,ω,x,y,v）,系数b（t,μ,x,y,v）,σ(7（t,μ,x,y,v）和f（t,μ,x,y,v）在W,TV（·,·）-度量下关于μ∈ P2,0（Rd × E）是模连续的,其中连续模ρ:R+→R+是个递增连续函数,满足ρ（0）=0,则有:对任意v∈ Uad以及（?）∈ U,dtdP-a.e.,H（t,P（xt,vt）,Xt,E[Xt|FtW1],（?）,pt,qt）-H（t,P（Xt,ut）,Xt,E[Xt|FtW1],ut,pt,qt）+1/2Pt|σ（t,P（Xt,vt）,Xt,E[Xt|FtW1],（?））-σ(t,P（X,tXt,E[Xt|FtW1],ut）|2≤0.

梁昊^[4]（2020）在《Wasserstein空间上沿密度曲线的导数及其在平均场随机控制问题中的应用》文中研究说明随机控制是现代控制理论中非常重要的一个组成部分。在我们所研究的随机控制问题中,我们的目标是随时通过观察到的信息,来选择合适的控制,使得随机动力系统中的某个指标的泛函达到一个最优的情形。例如,在股票市场中,通过随时更新自己的投资组合使得在某个时刻的财富值达到最大,这就可以看作是一个随机控制问题。解决随机控制问题有两个着名的经典方法,分别是随机最大值原理（SMP）和动态规划原理（DPP）。前者得到了最优控制满足的必要条件,而后者主要采用由局部到整体的思想,通过与偏微分方程建立联系来找到最优控制。本文主要采用的是最大值原理的方法。然而,在大部分的关于随机控制的工作中,我们都假设所有的信息可以被知道,也就是说控制系统中的所有布朗运动的信息都能被观测。很容易想到这种假设未必是合理的,有很多时候我们并不能了解所有信息,而只能知道一部分。所以,部分观测的随机控制系统也慢慢地走入了研究者的视野。数学中的平均场方法在研究经济学、金融学、物理学和量子化学等领域时的应用越来越广泛。近年来,很多学者将精力投入了平均场问题的研究。所谓的平均场随机微分方程和平均场倒向随机微分方程,即指方程的系数不仅依赖于方程的解的轨道,还依赖于解的分布。平均场SDE和BSDE理论的飞速发展,为我们研究平均场随机控制问题提供了强有力的理论工具。在本篇论文中,我们主要研究了一类带部分观测的平均场情形的随机控制问题。由于我们后续研究的随机控制问题的需要,我们首先研究了一类定义在某个概率空间中的Girsanov密度集合上的函数的可微性,利用Frechet导数来给出了函数关于密度的导数的定义,并进一步与定义在P2（Rd）上的函数的导数建立了联系。在得到了可微性结果之后,我们利用它来研究了一类一般的带部分观测的平均场随机控制问题。控制系统是一类新型的依赖于解的条件分布的平均场随机微分方程,我们首先证明了它的适定性,得到了其弱解的存在性和依分布唯一性。进而利用对偶原理,得到了在控制域不要求是凸的,并且控制系统的系数关于控制项没有任何光滑性条件的情况下的最大值原理。下面我们将进一步详细介绍本论文的内容与结构。在第一章引言中,我们介绍了本文主要研究的问题,以及问题的研究背景与动机。在第二章中,我们研究如此定义的关于密度的函数FQ:LQ→R,其定义为FQ（L）:=f（（LQ）ξ）,L∈LQ,其中f:P（Rd）→R是任意给定的一个函数,ξ为一给定的随机变量,LQ表示概率测度Q下的Girsanov密度的集合。我们给出了函数FQ可微的定义,并证明了我们可以使用一个Borel可测函数g:Rd→R来刻画其导数,且这个函数依赖于（Q,L,ξ）仅通过分布（LQ）ξ。接下来,我们研究了关于密度的导数与关于一个联合分布的函数在适当的概率测度空间上的偏导数的关系。本章的主要创新点:首次研究了关于密度的函数的可微性的刻画和导数的性质,并得到了其与关于联合分布的函数的偏导数之间的联系。在第三章中,我们进一步研究了关于密度的导数,并得到了关于密度的导数和定义在P2（Rd）上的函数的导数的关系。本章的内容是对第二章中内容的推广与延续,我们证明了若f:P2（Rd）→R满足可微性假设的话,那么我们讨论的关于密度的导数和f关于概率测度的导数存在联系,即后者可以看作是前者的导数。我们分别讨论了一维和高维情形,且在讨论过程中,我们先证明了上述结论在光滑维纳泛函的情形下成立,然后利用了逼近的性质,得到了想要的结果。在本章的最后,我们将得到的结论和基于随机变量的密度函数的平均场理论（参见[10]）建立了联系。本章的主要创新点:推广了关于密度的导数的结果,并建立了其与关于概率测度的导数的联系。在证明过程中应用了 Malliavin分析和Girsanov变换等理论工具,为解决类似问题提供了新的思路。上述两章来自于论文:R.Buckdahn,J.Li,H.Liang.Derivative over Wasserstein spaces along curves of densities.已投稿。在第四章中,我们介绍了一类带部分观测的平均场随机控制问题。控制系统为一平均场随机微分方程组,分别为状态过程和观测过程,且系数非线性依赖于观测过程的轨道和状态过程关于观测过程生成信息流的条件期望的分布。我们首先证明了如此形式的带“闭环”的平均场随机微分方程组的弱解的存在性和依分布唯一性,进而考虑其控制问题。在第三章所得求导数结论的帮助下,证明了其一、二阶变分方程,并利用对偶原理刻画了最优控制所满足的必要条件。由于我们这里并不需要控制域是凸的,而且控制系统的系数并不需要关于控制项满足良好的光滑性,所以我们这里得到的是Peng的随机最大值原理。在导出最大值原理的过程中,我们所用到的变分方程和伴随方程涉及到了新型的平均场随机微分方程和倒向随机微分方程。本章的主要创新点:将Buckdahn,Li和Ma[20]的工作推广到了系数非线性依赖于条件分布且控制域非凸的情形,证明了最优控制需要满足的必要条件,并在过程中得到了一些新型的平均场随机微分方程和倒向随机微分方程的解的适定性质。本章来自于论文:J.Li,H.Liang.A general mean-field stochastic maximum principle with partial observations.Preprint.下面是本文的章节目录和主要内容。一、第一章引言;二、第二章关于密度的导数;三、第三章关于密度的导数与P2（R）上的导数的关系;四、第四章带部分观测的平均场随机控制问题。第二章:我们研究关于密度的函数FQ:LQ→R,定义为FQ（L）:=f（（LQ）ξ）,L∈LQ,其中f:P（Rd）→R是任意给定的一个函数,ξ为一给定的随机变量,LQ表示概率测度Q下的Girsanov密度的集合。我们给出了函数FQ可微的定义,并证明了我们可以使用一个Borel可测函数g:Rd→R来刻画其导数,且这个函数依赖于（Q,L,ξ）仅通过分布（LQ）ξ。接下来,我们研究了关于密度的导数与关于一个联合分布的函数在适当的概率测度空间上的偏导数的关系。定义空间LQ:={L∈L1（Ω,F,Q）|L>0,EQ[L]=1}。我们令ξ∈L0（Ω,F,Q;Rd）是任意给定的。对L∈￡Q,（LQ）ξ ∈P（Rd）定义为#12其中bB（Rd）:={φ:Rd→Rd|φ是有界Borel函数}。我们现在任意固定函数f:P（Rd）→R,并定义FQ（L）:=f（（LQ）ξ）,L∈LQ.（0.0.1）在Frechet导数的意义下,我们如下定义（0.0.1）式给出的函数的可微性。定义2.2.1.给定L∈LQ,我们称由（0.0.1）定义的F:LQ→R是在L处可微的,若存在某个（dFQ）（L）∈L（L01（Ω,F,Q）,R）使得FQ（L’）-FQ（L）=（DFQ）（L）（L’-L）+o（|L’-L|L1（Q））,（0.0.2）对任意的 L’∈LQ且|L’-L|L1（Q）→0。我们可以证明上面的定义是明确的。引理2.2.2.对任意给定的L∈LQ,我们假设函数F:LQ→ R在上面定义的意义下是在L处可微的。那么满足（0.0.2）的连续线性泛函（DFQ）（L）∈ L（L01（Ω,F,Q）,R）是唯一的。关于密度的导数具有如下性质。对L∈LQ我们令QL:=LQ。显然QL是（Ω,F）上的概率测度,且LQL={L’∈L1（Ω,F,QL;R+）:EQL[L’]=EQ[L’L)=1}。引理2.2.3.令L∈LQ,则函数FQ:￡Q → R在L处可微当且仅当函数FQL:￡QL→R在L0=1处可微。而且,若FQ:LQ→ R在L处可微（则等价地,FQL:LQL→R在L0=1处可微）,则有如下关系成立DFQL（1）=DFQ（L）-EQL[DFQ（L）],QL-a.s.（～Q-a.s.）,DFQ（L）=DFQL（1）-EQ[DFQ（1）],Q-a.s.结合上面的引理,和我们接下来给出的定理,我们可以给出关于密度的导数的一个明确的定义,进而将其刻画为一个Borel函数,且这个函数仅通过分布（QL）ξ依赖于（Q,L,ξ）。定理2.2.1.假设FQL:LQ→R是在Lo=1处可微的。那么存在一个有界Borel函数g:Rd→R使得DFQL（1）=g（ξ）,Q-a.s.。而且,g依赖于（Q,L,ξ）仅通过分布（QL）ξ。由上面的定理,我们可以给出如下定义:（?）1F（（QL）ξ,x）:=g（x）,x ∈Rd.我们观察到这个函数是（QL）ξ（dx）-a.s.定义明确的,并且（?）1F（QL）ξ,ξ)=g（ξ）=DFQL（1）,QL-a.s.。在下一小节我们考虑关于密度的导数与偏导数的关系,本章所用预备知识主要参见[16]。对L∈ 定义如下函数GQ,ξ（L）=G（Q（L,ξ））=f（（LQ）ξ）=FQ（L）,则我们有如下偏可微的定义。定义2.3.1.映射G:P2,0（R × Rd）→称为是关于QL|ξ在Q（L,ξ）,处（偏）可微的,如果GQ,ξ:L2（Ω,F,Q）→R在L处是Frechet可微的。引理2.3.1.给定函数f:M（Rd）→使得对所有概率测度Q,如下定义的函数G:P2,0（R×Rd）→RG（Q（L,ξ）:=f（（LQ）ξ）,（L,ξ）∈L2（Q,F,Q）× L0（Ω,F,Q;Rd）,是关于（QL）L’|ξ在（QL）（1,ξ）处偏可微的,且由（0.0.1）给出的FQL:LQL→R在L0=1处是可微的。那么,（?）1F（QL）ξ,x）=（（?）μG）1（QL）ξ,x)-EQL[（（?）μG）1（QL）ξ,ξ)],x∈Rd,（QL）ξ（dx）-a.s.第三章:我们进一步研究了关于密度的导数,并得到了关于密度的导数和定义在P2（Rd）上的函数的导数的关系。我们证明了若f:P2（Rd）→ R满足可微性假设的话,那么我们讨论的关于密度的导数和f关于概率测度的导数存在联系,即后者可以看作是前者的导数。在讨论过程中,我们先证明了上述结论在光滑维纳泛函的情形下成立,然后利用了逼近的性质,得到了一般情形的结论。之后我们将结论由一维情形推广到了多维情形,并建立了与基于概率密度函数的平均场方法之间的联系。对d≥1,我们令f:P2（Rd）→R是连续可微函数,∧（?）Rm是一个连通子集,且映射∧（?）λ→Lλ∈LQ∩LQ2（,F,Q）是连续L2（Q）-可微的。定义Qλ=LλQ,其显然仍为概率测度。我们想要讨论映射∧（?）λ→f（Qξλ）在集合Λ上的可微性,和其偏导（?）λf（Qξλ）的形式。定理3.1.1.当假设1成立时,记Qλ:=LλQ,λ ∈ Λ,则函数Λ（?）λ→f（Qξλ）是可微的,且（?）λf（Qξλ）=EQ[（∫0ξ（?）μf（Qξλ,y）dy）（?）λLλ]=EQλ[（∫0ξ（?）μf（Qξλ,y）dy）（?）λ[lnLλ]].定理3.1.2.当假设1成立时,函数FQ（L）:=f（（LQ）ξ）,L∈LQ ∩L2（Q,F,Q）是连续L2（Q）-可微的,DFQ（L）=∫0ξ（?）μf（（LQ）ξ,y）dy-EQ[∫0ξ（?）μf（（LQ）ξ,y）dy],Q-a.s.,L ∈LQ∩L2（（Ω,F,Q）,而且,函数 L’ → FQL（L’）=f（（L’QL）ξ）（=f（（L’LQ）ξ））,L’∈LQL∩L2（Ω,F,QL）在L’=1处的导数有如下形式DFQL（1）=∫0ξ（?）μf（（QL）ξ,y）dy-EQL[∫0ξ（?）μf（（QL）ξ,y）dy],QL-a.s.,（?）1F（QL）ξ,x）=∫0x（?）μf（（QL）ξ,y）dy-EQL[∫0ξ（?）μf（（QL）ξ,y）dy],（QL）ξ（dx）-a.s.此外,（?）1F（QL）ξ,·):R→R连续可微,且有（?）x（（?）1F）（（QL）ξ,x）=（?）μf（（QL）ξ,x）,x∈R.我们先证明定理3.1.1的一个特殊情形。为简便起见,我们固定T=1,并给出特殊情形的假设:假设 3.令 n ≥ 1,0=t0<t1<…<tn=1,△i:=（ti-1,ti],B（△i）:=Bti-Bti-1.ⅰ）ξ是光滑维纳泛函:ξ=φ（B（△1）,..,B（Δn））,φ∈Cb∞（Rn）;ⅱ)γλ是光滑维纳阶梯过程:#12其中φi:∧ × Ri-1 → R是有界Borel函数,使得:iia)φiλ:Ri-1→R是C∞函数且在A ×Ri-1,1 ≤i ≤n,上各阶导数有界;iib)∧（?）λ→γλ ∈LF2（（0,1）× Q,dsdQ）是连续 L2（dsdQ）-可微的。对t∈[0,1]和λ ∈A,我们介绍所谓的Dolean-Dade指数:εtλ=exp {∫0t γsλdBs-1/2∫0t|γsλ|2dss},注意到εtλ∈LQ∩L∞,-（Q）,其中L∞,-（Q）:=n1<p<+∞Lp（Q）。此外,我们记:Qλ:=εtλQ,相应地,（Qtλ）ξ=（εtλQ）ξ∈P2（R）。命题3.1.1.在假设2和假设3成立时,定理3.1.1所声明的结论成立,换句话说,A（?）λ→f（（Qtλ）ξ）是可微的,且（?）λf（（Qtλ）ξ）=EQ[（∫0ξ（?）μf（Qtλ）ξ,y）dy)（?）λ[εtλ]].命题3.1.1的证明是基于Girsanov变换和Malliavin分析方法的。具体符号参见正文。应用下面的命题,我们即可将所需求导的变量由分布密度中转移至同一个概率测度下的随机变量中。命题3.1.2.对任意给定的f:P2（R）→ R,我们有f（（εtλ’Q）ξ）-f（（εtλQ）ξ）=f（（εt,λ,λ’Qtλ）ξ）-f（（Qtλ）ξ）=f（（Qtλ）ξ（Ttλ,λ’（Bλ））-f（（Qtλ）ξ（Bλ））,λ’∈∧.（0.0.3）为了完成特殊情形的结论,也就是命题3.1.1的证明,我们还需要下面的Malliavin分析的结果。引理3.1.2.当假设3成立时,映射s→ξ（Tsλ’,λ（Bλ））在[0,1]上连续,且在任一s∈（ti-1,ti）,1 ≤ i ≤ n,处可微:（?）s[ξ（Tsλ’,λ（Bλ））]=（Dsξ）（Tsλ,λ’（Bλ））·（γsλ’-γsλ）（Tsλ,λ’（Bλ））.本章的主要结论—定理3.1.1的证明还需要下面的逼近结果。命题3.1.3.令∧（?）λ→Lλ∈LQ∩L2（Q,F,Q）为一连续L2（Q）-可微映射。那么存在一列有界光滑维纳阶梯过程γλ,n,n ≥ 1,#12其中0=t0n<t1n…<tNnn=T,△in=（ti-1n,tin],使得i）φin:∧ ×Ri-1→R是有界Borel函数,ii）φiλ,m:Ri-1→R是C∞函数,各阶导数均在Λ× Ri-1 ≤ i ≤ n,上有界,iii)∧（?）λ → γλ,n ∈ LF2（（0,T）× Ω,dsdQ）在 Λ 上连续 L2（dsdQ）-可微,使得,对于εtλ.n:=exp {∫0tγsλ,ndBs-1/2∫|γsλ,n|2ds},t∈[0,T],λ∈A,如下两条成立a)（εTλ,n,（?）λεTλ,n）（?）（Lλ,（?）λLλ）:对任意的λ∈∧,b)对任意的 λ,λ’∈Λ 且[λ,λ’]（?）∧,λ（s）:=sλ’+（1-s）λ,s ∈[0,1],#12在多维情形的讨论中,我们得到了下面的结果。定理3.2.1.令L ∈LQ,且存在两个常数C,c>0,使得c ≤ L≤ C。并假设对任意的ξ∈L4（Ω,F,Q;Rd）和满足假设 1 的f:P2（Rd）→R,有函数FQξ（L’）=f（（L’ξ）Q）,L’∈LQ∩-L2（Ω,F,Q）是连续 L2（Q）-可微的,且 DFQξ（·）是L2（Q）-Lipschitz 的,（?）1F（（QL）,·）连续可微,且（?）x（（?）1F）（·,·）（?）μf（·）:（?）μf（·,·）:P2（Rd）×Rd→R有界且模连续。那么,（?）x（（?）1F）（QL）ξ,x)=（?）μf（QL）ξ,x),x∈Rd.我们在本章的最后考虑了f（（LQ）ξ）=Φ（fξLQ）形式的函数,其中fξLQ是随机变量ξ在概率LQ下的密度函数,Φ是一个定义在密度函数空间上的可微函数。在这种情形下我们得到了和上面的定理相同的结论。第四章:我们介绍了一类带部分观测的平均场随机控制问题。我们首先证明了这类平均场随机微分方程组的弱解的存在性和依分布唯一性。在考虑控制问题时,我们借助第三章所得求导数结论的帮助,导出并证明了其一、二阶变分方程,并利用对偶原理求得最优控制所满足的必要条件。这里我们得到的是Peng的随机最大值原理,其中控制域并不要求是凸的,且不需要控制系统的系数关于控制项的光滑性。在本章中,我们考虑的状态-观测系统如下（?）（0.0.4）其中（B1,B2）是（F,P）-布朗运动。在这样的系统中,X是状态过程,而Y是观测过程,它们均定义在概率空间（Ω,F,P）上。令UtX|Y:=EP[Xt | FtY],t∈[0,T],为“滤波”状态过程,μtX|Y是其在概率测度P下的分布,即μtX|Y:=PUtX|Y。我们想考虑上述系统在适当假设下的适定性。由Girsanov定理,我们可以将（0.0.4）转化成如下形式（?）（0.0.5）此方程可以看作是参照概率测度Q下的随机微分方程,其中（B1,Y）是（F,Q）-布朗运动。命题4.1.1.在假设（H1）之下,方程（0.0.5）存在唯一强解。SDE（0.0.5）的强解的存在性即可说明（0.0.4）的弱解的存在性,也就是说,假设在Q-布朗运动（B1,Y）驱动的方程（0.0.5）的强解为（X,L）,那么（Ω,F,P,（B1,B2）,（X,Y）是（0.0.4）的弱解,其中P=LTQ,且Bt2=Yt-∫0th（s,Y.∧s,Xs,μsX|Y）ds,t∈[0,T].我们还有下面的唯一性结果。定理4.1.1.当假设（H1）成立时,令（Ωi:Fi,Fi,Pi,（B1,i,B2,i）,（Xi,Yi））,i=1,2,为方程（0.0.4）的两个弱解。那么,有P（（B1,1,B2,1）,（X1,Y1））1=P（（B1,1,2,B2,2）（X2,Y2））·接下来我们考虑如下参照概率测度Q下的随机控制系统（?）（0.0.6）其中Pu=LTuQ,μtu=μtXu|Y=PEu[Xtu|FtY]u,其中Eu[·]:=EPu[·]。代价泛函定义为J（u）:=EQ[Φ（XTu,μTu）+∫0Tf（t,Xtu,μtu,ut）dt],u ∈uad.我们的目标是最小化代价泛函。在我们的讨论中控制域U不要求是凸的。在适当的假设下,我们借助上一章的结果,给出了如下的一阶变分方程:#12我们有如下适定性结果。命题 4.2.1.当假设（H2）成立时,（0.0.7）有唯一解（Y1,ε,K1,ε）∈SF2（[0,T],Q）×SF2（[0,T],Q）。而且,Y1,ε,K1,ε,V1,ε∈SFp（[0,T],Q）,对任意的 p>1。下面的估计验证了变分方程的正确性。命题4.2.2.对任意k≥ 1,存在Ck∈R+,使得（ⅰ）（?）（ⅱ）（?）（ⅲ）（?）（ⅳ）（?）推论4.2.1.对任意k≥1,存在Ck∈R+,使得（ⅰ）（?）（ⅱ）（?）（ⅲ）（?）（ⅳ）（?）下面这个非常有用且很有技巧性的估计为我们的讨论作出了巨大的贡献。命题 4.2.3.对任意的θ）=（θ1,θ2）∈LF2（[0,T],Q;R2）满足EQ（∫0T（θt1|2+|LTθt2|2）dt]<+∞,且（θt1,Ltθt2）∈ L2（Ft,Q;R2）对任意的t∈[0,T],存在 ρ:[0,T]× R+→R+使得|EQ[θt1Yt1,ε+θt2Ktt1,ε]|≤ ρt（ε）（?）ε∈（0,1],t∈[0,T],其中ρt（ε）→0（ε（?）0）,t∈[0,T],且满足ρt（ε）≤CEQ[|θt1|2+|Ltθt2|2],ε∈（0,1],t ∈[0,T].二阶变分方程有如下形式,此时我们为计算不过于繁琐,假设σ=σ（γ,v）,h=h（x,v）。且对于二阶变分方程有如下的适定性结果和估计。引理4.2.1.在假设（H2）成立时,方程（0.0.8）有唯一解（y2,ε,K2,ε）∈SF2（[0,T],Q）×SF2（[0,T],Q）。而且,Y2,ε,K2,ε∈SF∞,-（[0,T],Q）,且对任意的p>2,其SFp（[0,T],Q）-界不依赖于ε>0。引理4.2.2.对任意的p>1,存在常数Cp∈R+,使得对t∈[0,T],ε>0,有（EQ[|（Utε-（U+Vt1,ε+Vt2,ε））-θt（Xtε（Xt+Yt1,ε+Yt2,ε）,Ltε-（Lt+Kt1,ε+Kt2,ε））|p]）1/p≤<Cpε3/2.命题4.2.4.对任意的p≥2,存在Cp ∈ R+,使得（ⅰ）（?）（ⅱ）（?）（ⅲ）（?）其中 ρp（ε）→ 0,ε（?）0。此外,（ⅳ）（?）我们强调,上述结果对于一般情形也是成立的,系数对于其他变量的依赖性仅仅增加了计算了复杂度,而不会增加难度。现在我们考虑对偶性,得到了一阶伴随方程:（?）（0.0.9）一阶伴随方程有如下适定性结果:命题 4.2.6.当假设（H2）成立时,BSDE（0.0.9）有唯一强解（p1,（q1,q1））,（p2,（q2,q2）））。进一步地,对任意p≥2,（（p1,（q1,q1））,（p2,（q2,q2）））∈（SFp（[0,T],Q）×（LFp（[0,T],Q））2）×（SF2p（[0,T],Q）×（LF2p（[0,T],Q））2）。定义Hamilton泛函H（t,x,l,γ,v,q2）:=σ（t,x,γ,v）q1+h（t,x,γ,v）lq2-f（t,x,γ,v）,（0.0.10）（t,x,l,γ,φ,q1,q2）∈[0,T]×R×R+×P2（R）× U×R×R,并简记下列记号δH（t）=δσ（t）qt1+δh（t）Ltqt2-δf（t）,Hxx（t）=σxx（t）qt1+hxx（t）Ltqt2-fxx（t）,Hxl（t）=hx（t）qt2,Hμ（t）=σμ（t）qt1+hμ（t）Ltqt2-fμ（t）.Hzμ（t）=σzμ（t）qt1+hzμ（t）Ltqt2-fzμ（t）,其中（p1,（q1,q1））,（p2,（q2,q）））是一阶伴随方程的解;并给出二阶伴随方程则我们可以得到我们的随机最大值原理。定理4.2.1.假设（H2）成立。令控制u∈Uad是最优的,且（X,L）句为相应的控制系统（0.0.6）的解。那么,对任意的v∈U,有:dtdQ-a.e.（t,ω）∈[0,T]× Q,EQ[H（t,Xt,Lt,μt,v,qt1,qt2）-H（t,Xt,Lt,μt,.ut,qt1,qt2）+1/2Pt1|σ（t,Xt,μt,v）-σ（t,Xt,μt,ut）|2|FtY]≤0,其中（p1,（q1,q1）,（p2,（q2,q2）））和（P1,（Q1,1,Q1,2））,（P2,（Q2,1,Q2,2）））分别是一、二阶伴随方程（0.0.9）和（0.0.11）的解。

彭鹏^[5]（2020）在《分布式图信号采样与重建方法及其应用》文中进行了进一步梳理图信号处理（Graph Signal Processing,GSP）方法适用于无线传感器网络（Wireless Sensor Networks,WSNs）应用场景下的基于网络的分布式信息处理,可以弥补传统信号处理方法处理网状高维度数据的不足。图的顶点表示网络中的传感器节点,边表示传感器节点之间的通信链路,某一时刻网络中所有节点观测值的集合称为图信号。WSN的传感器节点能量受限是制约其发展的关键因素之一。考虑到实际应用中相邻传感器节点的观测值往往呈现相似性,在图信号频域上表现为低频特性,采用图信号采样与重建方法,可以通过网络中部分节点的观测值恢复图信号,由此减小网络开销。本论文围绕如何降低分布式图信号采样与重建方法的测量开销与通信开销展开研究,并结合基于WSN的空气质量监测应用场景仿真,验证所提出的方法的有效性。针对空气质量监测场景下图信号的低频特性不佳的问题,论文分别构造网络图拓扑的特征图拓扑和通信图拓扑,特征图拓扑反映图信号特征,通信图拓扑确定图信号重建算法中网络实际通信链路。为了使图信号在特征图拓扑上具有更好的低频特性,提出了一种基于信号相似度的特征图拓扑构造方法。该方法根据节点间的信号差异量选取邻居节点集合以及设计节点间的权重系数,由此得到基于信号相似度的特征图拓扑。通信图拓扑可以由下面提到的桥节点方法构造得到。仿真结果表明,论文所提出的特征图构造方法可以在保证重建性能的情况下,减少图信号重建算法中使用的频率分量个数与采样节点个数,减小网络的通信开销与测量开销。为了减小图信号重建方法的通信开销,论文从提升收敛速率与减小单次迭代中通信开销两个方面考虑。分布式递归最小二乘（Recursive-Least-Squares,RLS）图信号重建方法由于利用了图信号的历史信息,具有较快的收敛速率。论文在RLS图信号重建方法基础上,提出了一种基于桥节点的分布式RLS图信号重建方法,以减少通信图拓扑中的通信链路数。该方法通过设置桥节点的方式约束网络中节点估计值与桥节点估计值一致,优化了原RLS图信号重建方法的目标优化问题,使改进的图信号重建算法中普通节点之间不需要相互交换信息。仿真结果表明,所提出的基于桥节点的分布式RLS图信号重建方法可以有效地减小网络的通信开销。

魏丹婷^[6]（2019）在《一类随机系统分岔现象的研究》文中研究表明本文主要讨论一类典型的随机动力系统的分岔现象,在Stratonovich意义下,通过使用Wong-Zakai逼近的方法,将带有布朗运动驱动项的一维非自治随机微分方程,转化成确定性的带有随机参数的微分方程来研究。基于此,本文主要做了以下两个方面的工作:首先,本文研究了积分O-U过程驱动的随机微分方程,在满足一定的假设条件下,对λ的不同值进行讨论,求得方程的随机解,并证明随机解的稳定性和吸引子的存在性。最后给出方程的分岔情况。其次,已知积分O-U过程驱动的微分方程分岔情况,利用伊藤公式和Gronwall不等式,以及Φtε→wt（ε→0）等知识,证明了积分O-U过程驱动的微分方程的解可以逼近布朗运动驱动的微分方程的解。然后借鉴前人的理论成果,说明了在一定条件下,Wong-Zakai逼近微分方程的吸引子具有上半连续性,即说明了两种驱动下吸引子的Wong-Zakai逼近,由此获得结论:两种微分方程具有相同的分岔情况,从而得到由布朗运动驱动的微分方程的分岔情况。

党倩^[7]（2019）在《图信号采样和重建关键技术研究》文中研究说明随着信息的爆炸性增长,海量图结构数据以前所未有的速度产生于各种信号源。这些数据往往具有高维度、空间分布不规则等特征,为了有效分析和处理,图信号处理技术应运而生。采样是处理有关高维度数据问题的核心途径,重建则是求解逆问题的重要工具,它们在图信号处理中扮演着重要的角色。矩阵逆近似（Matrix Inversion Approximation,MIA）图信号重建算法已经被证明比传统的最小二乘（Least Squares,LS）重建具有更低的复杂度,然而却需要图拉普拉斯矩阵的特征值信息。本文针对现有的MIA算法所需的特征值信息,提出了一种在图信号处理领域中快速计算图拉普拉斯算子特征值的方法,该方法比现有的特征值求解方法复杂度更低。然后,使用所提出的特征值求解方法改进MIA算法,得到了一种重建速度更快的加速矩阵逆近似（Accelerated-Matrix Inverse Approximation,A-MIA）图信号重建策略。本文的主要内容及创新点如下:1.在已有的图信号处理相关理论基础上,首先概述了图信号、图频域、图信号的截止频率和图傅里叶变换等基本概念,给出了图信号在节点域和图频域的两种表示。然后,归纳了图信号的一些基本性质和定理,分析了图信号的变换机理,并提出了图信号采样和重建需要解决的问题,介绍了已有的几种解决方法及其基本原理。2.通过分析、研究图截止频率的特征,介绍了两种计算截止频率的方法,一种为近似求解方法,其揭示了截止频率和约化矩阵（￡k）Sc的最小奇异值之间的关系;另外一种为精确求解方法,该方法给出了样本集大小、截止频率和图拉普拉斯矩阵特征值之间的关系,结合这两种计算截止频率的方法,我们提出了一种在图信号处理领域中快速计算图拉普拉斯算子特征值的方法,经过仿真验证了所提出方法的可行性,并且与现有的几种特征值计算方法进行了对比。仿真实验表明,所提出方法较现有的特征值计算方法具有更快的速度。3.以带宽有限图信号的重建理论为基础,介绍了矩阵逆近似图信号重建算法,该算法已经被证明不再需要矩阵求逆,然而却需要图拉普拉斯矩阵的特征值信息,我们利用前面所提出的快速求解特征值方法获得了所需的特征值,从而提出了一种计算复杂度更低、重建精度更高的图信号重建策略。最后,通过使用三种典型的图结构和手写数字集构造的拓扑图对所提出的策略进行仿真,验证了该策略的可行性,并且与现有的几种重建方法进行了对比。仿真实验表明,所提出方法比现有图信号重建方法具有更好的信号重建性能。

杨立山^[8]（2018）在《图信号采样与重建研究》文中研究说明随着信息技术的迅猛发展,智能设备的广泛普及促使着网络成为当今数据处理分析领域中一个重要的来源。图凭借与网络结构天然的关联属性,逐渐成为分析网络数据的重要工具,也使得图信号处理技术受到了越来越多研究者的关注。图信号处理技术将网络数据抽象成图信号,并初步构建了与经典信号处理相似的理论体系。本文主要研究了图信号处理技术中采样与重建问题,包括采样集合的构成方式、采样信号的重建方法以及资源受限网络中动态采样策略。本文的主要研究内容以及创新点可归纳为:1.研究了采样集合的构成方式,提出了两种采样方法以及相应的重建算法。首先,从节点域角度定义了采样簇结构,提出了基于节点度信息的等级划分方法,并在此基础上给出了采样集合的构成方式。在采样信号的重建过程中,定义了簇内赋值和簇间插值算子,有效地确保了重建收敛速度。证明了所提重建算法能够无失真地重建原始图信号,给出了相应的限制条件,并将所提算法与现有算法进行了对比分析。仿真实验表明,所提算法能够以较低的采样率保持与现有算法相似的重建收敛速度。然后,进一步研究了图傅里叶变换,从图频域角度挖掘图结构的隐含信息,提出了基于图拉普拉斯特征向量矩阵的采样算法,设计了采样控制门限、重建精度和迭代步数控制参数,可满足不同场景下的需求。2.研究了采样信号的重建方法。首先,构建了未采样信号的组成框架,讨论了采样信号重建残差的扩散方式,定义了局部均值和全局偏差扩散算子,并在此基础上提出了基于图扩散算子的重建算法。分析了所提算法应满足的限制条件,并给出了相应的证明过程。仿真实验表明,相对于现有重建算法,所提算法的重建收敛速度得到了显着提升。然后,将已知信号集合、局部均值扩散部分、全局偏差扩散部分以及初步获取的结果进行综合分析,提出了基于加权因子的重建方法。仿真实验表明,所提算法的重建收敛速度得以更进一步提升。最后,以北京交通拥堵指数为例,探讨了图模型的构建方式以及图信号的映射方法,并在此基础上提出了一个针对非严格带限图信号的重建算法。仿真实验表明,所提重建算法拥有比现有算法更高的重建精度。3.提出了资源受限网络中的动态采样策略。首先,借鉴压缩感知理论中观测矩阵的评价机制,定义了采样算子与图拉普拉斯特征向量矩阵之间的图互相关系数,并给出了其与重建误差之间的关系。然后,利用本文所提重建算法的结论,分析了采样集合中节点数目的最小值,并给出了其证明过程。最后,进一步规划了基于节点剩余能量方差的优化问题,并提出了一个基于能耗均衡的采样节点调度方法,动态选取采样节点构成采样集合。仿真实验表明,所提调度方法能够有效地实现采样节点的动态轮替,从而确保资源受限网络中节点能量消耗的均衡。

介梦迪^[9]（2017）在《倒向随机微分方程的基本理论及若干应用》文中研究表明倒向随机微分方程（BSDE）的基本框架是由我国彭实戈院士和法国Pardoux教授共同提出的,所以其也被称为"巴赫杜（Pardoux）-彭方程"。1992年着名经济学家Duffie和Epstein从经济学的观点引入了 BSDE,使BSDE的研究具备了经济学背景,得到了数学家和经济学家的广泛关注和研究。随着学者们对其研究的一步步深入,在众多学科领域,BSDE都有了非常重要的应用。在PDE方面,为了表示PDE的解,我们试图运用BSDE的知识;在随机控制方面,通过未来的风险情况来得到现在的一些结果;在过滤方面,为了求解SDE的解的条件期望,可以通过解BSDE来表示。所以,我们对BSDE的研究具有很重要的价值,并且意义深远。下面我们给出本文的基本框架。本论文共分五个章节。其中,第一章节为绪论,描述了BSDE的一些重要发展历程,以及由此产生的影响;第二章节主要阐述了 PDE和BSDE之间的联系,为了表示PDE的解,试图通过解BSDE来完成;第三章节则证明了 BSDE的解的基本性质,并进一步地研究了BSDE的一些应用;第四章节则介绍了倒向重随机微分方程（BDSDE）的一些知识;第五章节阐述了平稳倒向随机微分方程（SBSDE）的一些基本理论。

李自玲^[10]（2017）在《基于马尔可夫链的历史和现状的研究》文中认为马尔可夫链是人类历史上第一个从理论上被提出并加以研究的随机过程模型。自1906年由马尔科夫提出这一概念,多位学者将其与其他理论结合不断发展。现代随机过程大致分为马尔可夫过程、平稳过程、布朗运动、离散鞅、无穷粒子马尔可夫过程和超过程。上世纪50年代前,学者们主要运用微分方程半群理论研究马尔科夫链,目前鞅论方法与随机微分方程相结合成为处理多维扩散过程的重要工具。中国学者许宝騄、王梓坤、严士健、陈木法、张绍义等人也在这一领域取得累累硕果。马尔科夫链的研究深入到经济、生物、物理、化学等众多领域,其理论发展方兴未艾。

二、Convergence of Symmetric Diffusions on Wiener Spaces（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、Convergence of Symmetric Diffusions on Wiener Spaces（论文提纲范文）

（1）面向空间非规则数据的图学习方法研究（论文提纲范文）

（2）带马氏链的倒向（双重）随机微分方程及其对应的（随机）偏微方程问题研究（论文提纲范文）

（3）Wasserstein空间中关于测度的偏导数及其在受控的平均场系统中的应用（论文提纲范文）

（4）Wasserstein空间上沿密度曲线的导数及其在平均场随机控制问题中的应用（论文提纲范文）

（5）分布式图信号采样与重建方法及其应用（论文提纲范文）

（6）一类随机系统分岔现象的研究（论文提纲范文）

（7）图信号采样和重建关键技术研究（论文提纲范文）

（8）图信号采样与重建研究（论文提纲范文）

（9）倒向随机微分方程的基本理论及若干应用（论文提纲范文）

（10）基于马尔可夫链的历史和现状的研究（论文提纲范文）

四、Convergence of Symmetric Diffusions on Wiener Spaces（论文参考文献）

• [1]面向空间非规则数据的图学习方法研究[D]. 刘玥良. 北京邮电大学, 2021(01)
• [2]带马氏链的倒向（双重）随机微分方程及其对应的（随机）偏微方程问题研究[D]. 马宁. 山东大学, 2021(10)
• [3]Wasserstein空间中关于测度的偏导数及其在受控的平均场系统中的应用[D]. 陈雅洁. 山东大学, 2020(04)
• [4]Wasserstein空间上沿密度曲线的导数及其在平均场随机控制问题中的应用[D]. 梁昊. 山东大学, 2020(04)
• [5]分布式图信号采样与重建方法及其应用[D]. 彭鹏. 浙江大学, 2020(02)
• [6]一类随机系统分岔现象的研究[D]. 魏丹婷. 华中科技大学, 2019(03)
• [7]图信号采样和重建关键技术研究[D]. 党倩. 西安电子科技大学, 2019(02)
• [8]图信号采样与重建研究[D]. 杨立山. 北京邮电大学, 2018(09)
• [9]倒向随机微分方程的基本理论及若干应用[D]. 介梦迪. 中国科学技术大学, 2017(01)
• [10]基于马尔可夫链的历史和现状的研究[J]. 李自玲. 商业经济, 2017(03)