杨志伟[1]（2021）在《变分数阶以及变分布阶偏微分方程的数值离散及其理论分析》文中提出在过去的几十年中,越来越多的扩散过程被证实不满足Fickian定律,例如在生物细胞中的信号传导,神经细胞中的反常的电扩散,动物的觅食行为,黏弹性和粘塑性流动以及地下水中的溶质的迁移等。而分数阶偏微分方程在描述反常扩散方面有着非常重要的应用,所以近些年来,分数阶微分方程受到人们的广泛关注。分数阶微分方程已被成功应用于各学科和工程领域,例如,流体力学,材料力学,物理学,金融学,化学等许多领域。对于布朗粒子在粘弹性介质中的随机运动,产生的阻力具有记忆效应,从而会导致分数阶随机微分方程。除此之外,在许多情况下,材料的结构可能会随着时间而变化。例如,在粘弹性介质中布朗粒子的随机运动中粒子与介质分子的碰撞可能改变介质的结构。在非常规油气或页岩气开采中,采用水力压裂技术来增大介质的孔径提高油页岩气采收率。由于分形维数通过Hurst指数[57]决定了分形维数,多孔材料的结构变化导致了分数阶导数的变化,这样就产生了变分数阶模型[9,68,75,89]。本文主要研究变分数阶以及变分布阶时间分数阶偏微分方程的数值离散及其理论分析。主要包含两部分,第一部分研究确定性变时间分数阶微分方程的数学理论与数值方法和分析。第二部分主要研究由随机噪声驱动的变分数阶随机微分方程解的存在唯一性以及数值格式和误差分析。全文由以下六个章节组成。第一章,我们简要介绍分数阶微积分的历史,并且给出几种常见的分数阶导数的定义。然后给出本文的主要内容和结构安排。第二章,对于变时间分布阶偏微分方程,我们给出了解的存在唯一性证明,并且对于解的正则性进行了分析。相应的我们给出了该模型的有限元方法数值格式,同时给出离散格式的稳定性和收敛性的证明。第三章,在这一章节中,我们讨论了变时间分数阶波动方程的数值格式与误差分析。我们提出了间接配置方法,然后对算法的相容性与稳定性以及收敛性进行了分析,得到了最优误差估计。数值实验也验证了数值格式的有效性。第四章,我们研究了由布朗运动驱动的变时间分数阶随机微分方程,我们证明了该问题的解的存在唯一性。我们对改模型提出了广义欧拉格式,并且证明了算法的稳定性与收敛性。特别地,当模型中参数λ=0时,自动退化为经典整数阶随机微分方程,特别地,我们的理论分析框架也适用于经典整数随机微分方程的情况。第五章,我们研究了由Levy噪声驱动的变时间分数阶随机朗之万方程,我们证明了该问题的解的适定性。我们对该模型提出了数值格式,并且证明了该格式的收敛性。特别地,当模型中的参数μ=0时,自动退化为经典整数阶随机郎之万微分方程,特别地,我们的理论分析框架也适用于经典整数随机郎之万微分方程的情况。第六章,对全文进行总结并对未来的研究工作进行展望。
李昂[2]（2021）在《分数阶系统近似及估计算法的研究》文中进行了进一步梳理分数阶微积分的出现极大的延伸和扩展了微积分理论的领域。近年来,分数阶微积分独特的性质在许多科学问题和工程现象中被发现,促进着越来越多的科研工作者使用这一理论体系来分析和研究各种科学问题并应用于各类领域中,例如系统建模、控制器设计、生物医学和信号处理等领域。虽然分数阶微积分理论已经诞生了三百余年,但对分数阶系统的研究还有待深入展开。现阶段科研界对构造分数阶系统基本单元的认识还远远不足,使用这类基本单位构造的分数阶系统的性质很不稳定,难以用其来进行具体问题的研究,因此如何获取一个稳定、能在工程中搭建并且方便仿真的参考级分数阶系统是研究中的关键问题。研究表明,可以使用一个整数阶系统逼近分数阶系统的基本单元,但是这类的研究还存在精度不够高、计算量比较大的问题。除了分数阶系统构建的问题以外,针对复杂分数阶系统的研究也有待更深入的发展。利用系统的含噪输出信号对系统的未知量进行估计也是分数阶控制理论研究中的重要方向之一,其所估计的结果可用来分析系统性能和设计控制器。然而分数阶系统具有复杂的动态特性以及无穷维的系统特征,同时由于分数阶微积分基本理论的发展还不够全面,在实际计算中会常常遇到奇异积分无法处理及运算复杂度高的问题,这为系统估计增加了诸多困难。因此这项工作既具有非常重要的研究价值,同时也是一个很大的挑战。本文以解决如上问题为出发点,提出了分数阶系统的高精度逼近方案,同时改善了分数阶微积分基本理论中的一些计算方法并将其应用于估计一类复杂分数阶系统控制输入信号和输出信号的分数阶导数中。首先,本文针对分数阶微分算子sα的逼近做了深入研究,分析了逼近系统的构成与α大小之间的关系,得到了更广义的逼近形式,同时对逼近系统的相位进行分析,通过优化相位提高逼近精度,并在此基础上,提出了一种计算更为简单的逼近方案。其次,本文进一步探讨了分数阶微积分理论中的一些基本的定理,提出分数阶微积分新计算公式,避免了传统定义在应用中的缺陷。再次,对于一类复杂的分数阶线性系统控制输入信号和非线性系统中非线性项的估计,本文提出分数阶移动窗口方法。与整数阶系统不同,分数阶系统具有长记忆效应,即每一个时间点上的值都和历史值息息相关,因此传统的移动窗口法是不能直接应用于分数阶系统的估计。本文利用调制函数的相关特性,构建了新的移动窗口法,可以有效地应对分数阶系统的长记忆特性,从而精确的估计所需控制输入信号。此外,估计复杂系统输出信号的分数阶导数也是本文所研究的重点之一。由于利用调制函数构造递归算法可以避免截断误差对最后结果的影响,本文利用调制函数方法先对分数阶线性系统输出信号的一系列同元次导数进行了估计,推导出了有效的估计算法,同时利用切比雪夫不等式分析噪声干扰下的参数优化问题,提升方法的精确度。最后,在完成上述导数估计的基础上,本文继续扩展估计范围,推导出了输出信号的任意阶次导数的估计方法,并将所估计的系统由线性系统推广到了非线性系统,取得了良好的逼近结果。综上所述,本文首先优化了分数阶系统数值仿真算法,其次对一些分数阶微积分基本理论进行了针对性的优化,并基于这两项工作,完善了调制函数方法在复杂分数阶系统中的应用。实现了在分数阶系统研究领域中基本工具、基本理论、基本方法三个方面的创新。
姚辉[3]（2021）在《三维声波传输问题的边界积分方程方法》文中进行了进一步梳理在自然界中,声波可以通过不同的介质进行传输。针对这一现象,我们需要建立数学模型对其加以描述。在本文中,我们主要研究了跟时谐Helmholtz方程有关的三维声波传输问题。研究偏微分方程的数值方法有许多种,常用的方法有有限元方法、有限差分方法、有限体积方法、边界积分方程方法等等。本文主要运用边界积分方程方法来处理三维声波传输问题。该方法的优点在于我们只需要对边界进行离散。同时,该方法用于数值计算可以进行降维计算并且具有较高的精度。使用该方法的困难在于处理边界积分算子积分核的奇异性。本文将三维声波传输问题分为了两部分进行研究:在第一部分中,我们考虑了在Lipschitz边界上三维声波方程的外Dirichlet问题。首先运用位势理论,通过单层位势表示原问题的解并利用边界条件得到边界积分方程。在得到边界积分方程的基础上,我们通过Galerkin边界元方法得到了离散的线性方程组。其次,求解线性方程组得到每个三角形单元中未知系数。最后,我们选取区域外的一系列点,将线性方程组得到的未知系数代入原问题解的表达式中,得到如图3-2所示的数值结果。在计算过程中,我们引入了一种特殊的局部坐标系[1,2]用于三角形边界单元。基于该局部坐标系,我们能够有效地处理边界积分算子的奇异性。在第二部分中,我们进一步研究了一个入射波可以穿透一个物体表面的声波传输问题。首先,我们借助格林公式表示原问题的解并且结合边界条件得到了耦合的边界积分方程系统。其次,我们证明了在Lipschitz边界上三维声波传输问题弱解的存在唯一性。最后,我们给出数值实验来验证方法的有效性和准确性。
黄江凤[4]（2021）在《声波与弹性波反散射问题的贝叶斯方法》文中进行了进一步梳理反散射问题由于其在许多科学和工程领域的广泛应用受到了越来越多的关注。反散射问题通常是不适定的,这使得它在理论分析和数值求解方面存在很多困难和挑战。在实际应用中,由于观测数据有限且有不可忽略的误差和不确定性,而传统的确定性方法通常不能处理反问题解的不确定性,贝叶斯方法将反问题重塑为统计推断问题,并提供了一个系统的框架来量化反问题解的不确定性。本论文立足于贝叶斯方法,围绕几类声波和弹性波反散射问题展开研究,包括声波内腔反散射、传输反散射、介质反散射以及弹性波介质反散射问题。本文研究内容主要分为如下四个部分:第二章研究贝叶斯方法求解声波内腔反散射问题,其主要目的是从有限孔径散射场数据重构散射体的形状。贝叶斯方法将反问题重塑为统计问题,通过贝叶斯公式,反问题的解为后验分布。考虑先验是高斯分布,证明后验分布的适定性。马尔可夫链蒙特卡洛采样法通常被考虑用来提取后验分布的信息,数值实验结果证明了所提方法的有效性。第三章研究贝叶斯方法求解二维时谐声波在可穿透障碍物上的反散射问题,即声波传输反散射问题。对于传输反散射问题,其主要目的是根据远场模式的全孔径数据或有限孔径数据重建散射体的形状。基于第二章的分析,在贝叶斯框架下考虑高斯先验并证明后验分布的适定性。最后,利用马尔可夫链蒙特卡罗算法抽取后验分布样本,数值实验结果证明了所提方法的有效性。第四章研究贝叶斯水平集方法求解声波反介质散射问题。假设具有紧支撑的非均匀散射体由一个分段常函数表示,它的密度函数值是已知的,其支撑通过水平集函数表示。利用贝叶斯方法与水平集方法耦合将反问题重塑为形状重构的统计问题,且利用多频的数据恢复散射体形状。考虑Whittle-Matérn高斯随机场作为先验,在这种设置下可以得到水平集不连续集的Lebesgue测度几乎确定为零。从而,基于贝叶斯定理证明后验分布的适定性。最后,通过马尔可夫链蒙特卡洛法抽取后验分布样本,其数值结果表明所提方法可以有效地重构散射体形状。第五章研究贝叶斯水平集方法求解弹性波反介质散射问题。假设弹性介质的Lamé参数是已知的常数,且与背景介质的常数相同,弹性介质的密度是给定值的分段常函数。此时,弹性波反介质散射问题可以被表述为一个从多频测量数据中恢复散射体支撑的问题。基于第四章的研究,将散射体的几何形状由水平集来表示,且水平集函数的先验是通过Whittle-Matérn高斯随机场实现的,进一步证明后验分布关于数据是局部Lipschitz连续的。数值实验通过马尔可夫链蒙特卡罗法来抽取后验分布样本,重构结果表明了所提方法的有效性。
王宗奇[5]（2021）在《含特殊核的Volterra型积分微分方程的重心有理插值配点法》文中进行了进一步梳理含特殊核的Volterra型积分微分方程在许多科学和工程领域有着广泛的应用,如在流体力学、固体力学、热传导、弹性理论和热流中,这些问题多可以归结为含特殊核的Volterra型积分微分方程的初值问题.近几十年来,很多学者研究了这类方程的解析解,但是多数问题很难用解析解刻画,这使得寻求此类方程数值解法的创新、数值解法的改进以及数值方法的应用成为了研究的热点.为此本文基于重心有理插值配点法研究了此类方程.本文结构安排如下:第一章介绍含特殊核的Volterra型积分微分方程和重心有理插值配点法的研究现状.第二章介绍了本文主要研究内容所需的基本知识.第三章针对含卷积核Volterra型积分微分方程的数值求解问题,利用重心有理插值配点法构造了卷积核Volterra型积分微分方程的离散数值格式,得到全局收敛性定理.最后通过选取等距节点及相应的配置参数,利用数值算例验证了该方法的有效性.第四章针对含弱奇异核的Volterra型积分微分方程的数值求解问题,通过变量变换对弱奇异的Volterra型积分微分方程进行了变换,使变化后方程的精确解在任意阶导数中都不包含任何奇点.在此基础上,选取等矩节点利用重心有理插值配点法构造了弱奇异积分微分方程的离散数值格式,得出全局收敛性定理,最后利用数值算例验证了该方法的有效性.第五章总结了全文并对今后的工作和研究提出展望.
张娟[6]（2021）在《奇异摄动及优化问题的误差估计与预处理》文中研究说明随着科学研究和工程技术领域探索的不断深入,自然界中的大量自然现象以及日常生活中的很多经济社会现象,往往可以借助（偏）微分方程进行刻画.由于科学工程问题受到诸多因素的影响,通常很难得到其真实解.科学计算是近两个世纪以来重要的科学技术进步之一,已成为促进重大科学发现和科技进步的重要手段,是国家科学技术创新发展的关键要素.科学计算必须依靠高效的数值计算方法和高性能的计算机硬件系统.但是,计算机硬件技术的更新速度在一定程度上跟不上科学工程领域发展的步伐,所以必须依靠研究、设计高效的数值方法进行大规模工程问题的数值模拟,并且这也是最有效、最节约成本的解决方案之一.如何确定恰当计算花销达到给定的数值计算精度,就需要使用自适应的技巧.自适应技巧的核心是利用已有的数值结果和模型方程的已知信息构造有效的后验误差估计指示子.如何得到有效的、便于程序实现的后验误差估计指示子,是当前诸多学者讨论和研究的焦点之一.此外,研究控制系统性能指标最优化的整数阶和分数阶偏微分方程最优控制模型,可以概括为在一组等式或不等式的约束条件下,求目标函数极值的问题.由于分数阶导数算子的全局特性,国内外诸多学者采用谱方法求解变量约束分数阶最优控制问题.本文基于有限元方法讨论了变量约束整数阶最优控制问题的数值求解方法及其离散代数系统快速计算的相关问题,结合其等价离散代数方程组的结构特征,构造了高效的块对角预处理子;利用谱方法给出了状态变量积分受限分数阶最优控制问题的离散格式,实现了模型问题的高效率数值求解.此外,采用谱方法实现了低维空间奇异摄动问题的高效数值求解,并根据基函数的正交特性讨论了该类模型问题的谱方法后验误差估计相关技巧.具体包含如下内容:文中围绕低维空间反应扩散方程奇异摄动问题模型,利用区间加权正交广义雅克比多项式设计了包含奇异摄动参数的正交基函数,从而得到了稀疏的刚度矩阵,并基于谱方法给出了一维奇异摄动问题模型相应的数值求解格式.基于模型方程微分算子建立了数值解的各系数与方程右端项关于雅克比多项式的展开系数之间的恒等关系.借助基函数以及广义雅克比多项式的加权正交性,通过分析基函数正交系数的上界估计,给出了两类范数意义下的后验误差估计.基于控制变量所满足的积分约束条件,给出了分布式最优控制问题的等价最优性条件,采用有限元方法给出了模型问题的数值离散代数系统.针对刚度矩阵中非零元素的结构特点构造了稳健的块预处理子,并设计了快速迭代算法,同时分析了该算法的计算量为≤ 9步.结合数值算例验证了本文所设计预处理子的高效特性,相应的迭代算法计算量符合理论分析结果.类似的,围绕状态变量在积分约束下的椭圆型最优控制问题,利用KKT条件给出了一阶等价最优性条件,采用有限元方法实现了相应等价问题的数值离散,同时根据其刚度矩阵的结构特征,设计了稳健的块预处理子以及可行的迭代算法,并证明了其迭代计算量为≤6步.同样地,给出数值算例验证了预处理子的高效特性,并且佐证了迭代算法的计算量与理论分析结果相一致.通过引入拉格朗日乘子技巧分析了状态变量在L2-范数意义约束下最优控制问题的一阶最优性条件,并得到了控制变量与对偶状态变量之间的等式对应关系.此外,针对Riemann-Liouville意义的分数阶偏微分方程,详细探究了状态变量在积分约束下Riesz分数阶最优控制问题模型相应的最优性条件.借助Galerkin谱方法具有全局性特点,结合广义雅克比多项式构造了 Galerkin谱方法实现分数阶最优控制问题模型的数值离散.同时根据已有的正则性分析结果给出了模型数值解的先验误差估计分析.最后借助数值算例验证了高精度Galerkin谱方法数值格式的逼近效果,通过数值解的收敛阶分析进一步验证了理论结果的正确性.
宋红霞[7]（2020）在《均匀材料尺度依赖和表面依赖的接触力学分析》文中研究说明随着现代制造技术的高速发展,许多机械产品和器件的日益小型化、微纳化。当机械系统结构或者材料特征尺寸减小到微纳米量级时,结构或者材料就会呈现出一些不同于其在宏观尺度下的特殊性能,表现出强烈的尺度效应和表面效应。目前,微纳米尺度的接触力学受到人们的广泛关注,且在实验和数值模拟方面做了大量的研究,理论方面的研究主要基于一些非经典的高阶连续介质理论,如偶应力理论和表面弹性理论。偶应力理论通过在其本构关系中引入材料特征长度来表征微米材料的尺度效应;表面弹性理论通过引入表面材料常数和非经典边界条件来表征纳米材料的表面效应。本文主要研究均匀材料尺度依赖和表面依赖的接触问题,包括基于偶应力理论均匀弹性材料的二维摩擦和有限摩擦接触问题,以及基于表面压电理论均匀压电材料的二维和轴对称无摩擦接触问题。主要内容和结论包括:（1）基于偶应力理论,建立了均匀弹性半平面尺度依赖的接触模型,求解了半平面在刚性平压头、圆柱压头和半圆压头作用下的滑动摩擦接触问题。利用Fourier积分变换,将法向和切向集中线载荷作用下的基本解转化为第二类耦合的Cauchy奇异积分方程组,再利用数值方法得到接触问题的解。研究结果表明:随着尺度参数的增加,平压头法向接触应力首先偏离然后逐渐趋近于经典弹性结果,圆柱压头和半圆压头的最大法向接触应力随着尺度参数的增加而增加。在邻近平压头两端的足够小的接触区域内,存在边界层效应,圆柱压头和半圆压头在接触区的两端不存在边界层效应。（2）基于偶应力理论,建立了均匀涂层半平面尺度依赖的接触模型,研究了均匀涂层半平面在刚性压头作用下的滑动摩擦以及有限摩擦接触问题。利用Fourier积分变换,得到涂层半平面在法向和切向线集中载荷作用下摩擦接触问题的控制奇异积分方程组,并用于求解滑动摩擦接触和有限摩擦接触问题。对于有限摩擦接触问题,接触区被分为中心粘着区和外滑移区,通过发展复杂的迭代方法数值获得了问题的解。研究结果表明:对于平压头和圆柱压头的面内应力,出现在接触区边缘的拉应力随着剪切模量比和摩擦系数的增加而增大,这表明可以通过调节涂层的剪切模量比和摩擦系数来改善微纳尺度接触损伤。（3）基于表面压电理论,建立了压电材料表面依赖的二维接触模型,研究了均匀压电半平面在刚性平压头和圆柱压头作用下的二维无摩擦接触问题,讨论了残余表面应力、表面弹性常数、表面压电常数和表面介电常数对压电材料接触特性的影响。研究结果表明:对于二维接触问题,表面效应使得圆柱压头法向接触应力在接触区两端不再为零,且在接触区外存在非零压应力,这与经典弹性理论的结果不同。平压头法向接触应力只对残余表面应力敏感,然而圆柱压头的法向接触应力不仅对残余表面应力敏感,同时对表面弹性常数和表面介电常数敏感。（4）基于表面压电理论,建立了压电材料表面依赖的轴对称接触模型,研究了均匀压电半空间在刚性平底圆柱压头和球压头作用下的轴对称无摩擦接触问题。利用Hankel积分变换给出表面依赖的轴对称接触问题的控制积分方程,获得了半空间接触表面接触应力和电位移的数值解。分析了残余表面应力、表面弹性常数、表面压电常数以及表面介电常数对法向接触应力、径向应力和径向电位移的影响。研究结果表明:对于轴对称接触问题,表面效应使得球压头法向接触应力在接触区边缘处不再为零,且在接触区外存在非零压应力,这与经典弹性理论的结果不同。对于平底圆柱压头,法向接触应力主要对残余表面应力敏感。然而对于球压头法向接触应力不仅对残余表面应力敏感,也对表面弹性常数和介电常数敏感。本文工作在尺度依赖和表面依赖的接触问题上做了系统的理论研究,研究结果对揭示微纳米接触损伤有重要理论意义,对微纳米机械系统和器件的优化设计以及基于纳米压痕技术的材料性能表征具有重要的应用价值。
孙秀宇[8]（2020）在《求解两类带有奇异核的分数阶积分-微分方程的新算法》文中提出带有奇异核的方程是当今数学领域中比较热门的一个分支.本文研究两类带奇异核的方程,其中带有柯西核的奇异积分方程最初是用来求解各种弹性问题的经典方法,也是研究得最早和最完整的一类奇异方程.此类方程在固体力学、量子理论学、接触力学、断裂力学、势能理论、电磁散射等问题中有着广泛的应用.这使得此类方程与实际问题有着很强的相关性.而另一类带有弱奇异核的分数阶积分-微分方程虽然是一门相对较新的学科,但是这类方程在实际生活中有着广泛的应用前景,它是辐射平衡、热传导问题、弹性断裂力学、材料科学以及工程热、固体物理等问题的数学模型.由于带有奇异核的方程在求近似解时的条件性都较强,因此适用于求解一般性方程的数值方法中,只有很少一部分方法适合去求解此类方程.由此来看研究其算法是具有充实的物理背景以及十分重要的实际应用前景的.本文以配点法理论为基础,将Chebyshev多项式作为空间内的基函数,以此构造多项式形式的近似解以及分数阶微分项的表达式.最后将所求方程转化为一个线性代数方程组来解出方程的近似解.称此方法为Chebyshev配点法.使用Chebyshev配点法转化后的方程形式更为简洁,大大减少了计算量进而节约了时间,因此使得计算结果更为精确有效.给出的数值算例验证了该方法的有效性.文中还给出了收敛性分析等相关理论.
谭宝[9]（2020）在《边界积分方程的快速算法》文中提出边界积分方程的数值求解常常受制于积分算子的奇异性和离散矩阵的稠密性等问题,这使得边界积分方程方法求解大规模问题时需要更多的计算资源。本文考虑快速的傅里叶伽辽金方法,该算法将一个奇异的边界积分算子拆分成积分算子A+B的形式,其中算子A包含了原始算子大部分的奇异性,并且傅里叶基函数是它的特征函数,使得算子A在傅里叶基函数下的离散矩阵是对角矩阵。另一方面算子B有比原算子更好的光滑性,积分核具有更小的奇异性,使得算子B在傅里叶基函数下的离散矩阵只在部分区域显着不为零,通过设计合适的截断策略,可以将原算子在傅里叶基下的稠密矩阵压缩成稀疏矩阵,达到提高计算速度的目的。根据已有的研究表明,可以将原算子的离散矩阵中的非零元素个数降到O（n log n）水平,其中n表示所使用的傅里叶基函数的最大阶数。同时该方法能够保持和传统的傅里叶伽辽金方法相同的收敛阶O(n-t),其中t表示真解的正则阶数。本文通过改进Laplace方程Dirichlet和Neumann内问题上的快速傅里叶伽辽金方法,使得离散矩阵的非零元素个数降到O（n）水平,同时将该算法推广到一类由双调和方程边值问题得到的矩阵边界积分方程系统上,并从理论和数值上给出了相应研究结果。具体的研究内容和结论如下:对于Laplace方程Dirichlet和Neumann内问题,我们首先通过位势理论得到原问题的积分方程形式,然后边界归化得到边界积分方程,对于其中的弱奇异和超奇异边界积分算子,我们将积分核进行拆分得到两个算子。在矩阵稀疏化的过程中,我们改进离散矩阵的截断策略,使得矩阵中非零元个数达到O（n）水平,并从理论上给出了证明。对于改进后的快速傅里叶伽辽金方法,我们通过Fredholm定理分析了算法稳定性,并进行了收敛性分析,证明该算法下的数值解保持了传统傅里叶伽辽金方法的最优收敛阶O(n-t),并对得到的稀疏线性系统给出了预处理办法,控制了系数矩阵的条件数。对于双调和方程内边值问题,我们首先给出原问题解的边界积分方程形式,然后转化为矩阵边界积分方程系统,对于其中的积分算子进行拆分,然后设计合适的截断策略对算子在傅里叶基函数下的离散矩阵进行截断压缩,并从理论上给出了算法稳定性和收敛性结果。在每一章最后,我们给出了数值算例,以此验证算法的准确性和计算效率。
侯典明[10]（2019）在《若干奇性问题和梯度流模型的高阶数值方法》文中研究表明本文研究了两大类偏微分方程的高阶数值方法,其中一类为具有奇性解的微分-积分方程和分数阶微分方程,另一类为具有梯度流结构的偏微分方程。论文大致分为两大相对独立的部分,前半部分针对一类微分-积分方程和分数阶微分方程,构造并分析了基于Muntz多项式逼近的高效谱方法;后半部分针对几个经典的梯度流方程,基于拓展的辅助变量法构造并分析了无条件稳定的时间离散格式。论文主要内容包含在下面几个章节中:第一章,介绍与本文研究密切相关的背景和研究现状,陈述本文的研究动机和主要内容,并给出本文所需的部分预备知识。第二章,首先给出Miintz Jacobi正交多项式的定义,讨论该多项式的基本性质。然后研究Muntz Jacobi多项式的逼近性质,特别是分析了加权投影算子和插值算子的基本逼近性质。第三章,首先在第一节提出和分析了一类积分微分方程和经典Possion方程的高效Miintz谱方法,给出了收敛结果的证明。收敛性分析结构显示:尽管精确解在边界处可能有奇性,只要选择适当的参数就能保证数值解的谱收敛。本节最后给出的数值算例验证了理论结果的正确性。在第二节我们考虑一类时间分数阶扩散方程,构造了一个Muntz谱方法,即基于Galerkin或Petrov-Galerkin弱形式和Muntz多项式逼近空间的谱方法。理论分析和数值研究表明:对于一般的右端项,数值解具有指数收敛。准确地说,基于Galerkin框架的算法分析和数值算例显示:只要取得合适的参数,数值格式就具有指数收敛。基于Petrov-Galerkin框架的Muntz谱方法尽管没有理论证明,但数值例子显示它具有与G alerkin方法相同的精度。在本章的最后一节,我们设计和分析了一类带弱奇异核的Volterra积分方程的Muntz谱配置点方法,推导了数值解的L∞-和带权L2-误差估计。相比已有方法,我们的方法对Volterra积分方程的典型解具有更高的收敛阶。第四章,考虑具有梯度流结构的一类偏微分方程,提出了一个拓展的标量辅助变量法（Scalar Auxiliary Variable,即SAV）,并借此构造了无条件稳定的时间离散格式。新方法的有效性在于将梯度流方程分解成几个非耦合的常系数Possion方程,后者可以用已有的任何快速算法求解。我们严格证明了所构造时间格式的无条件稳定性,并通过一系列数值试验验证了理论结果的正确性和算法的有效性。新方法是传统SAV方法的拓展。通过引入一个含参数的附加项,新方法不仅涵盖了传统的SAV,还放松了传统的SAV施加在自由能上的假设:即传统的SAV要求自由能的非线性部分有下界,而新的方法只需假设总的自由能或部分自由能有下界。后者更具有物理合理性,对梯度流模型有更广的适应性。
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分数阶微积分简介 |
| 1.2 本文的主要内容 |
| 第二章 变时间分布阶分数阶扩散方程:理论与数值分析 |
| 2.1 前言 |
| 2.2 辅助引理 |
| 2.3 变分布阶分数阶微分方程 |
| 2.4 变分布阶分数阶偏微分方程解的适定性与光滑性 |
| 2.5 有限元方法与误差估计 |
| 2.5.1 有限元数值格式的导出 |
| 2.5.2 截断误差的分析 |
| 2.5.3 有限元逼近格式的最优误差估计 |
| 2.6 数值实验 |
| 2.7 本章小结 |
| 第三章 变分数阶波方程的时间配置方法及最优误差估计 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 变阶分数阶微分方程模型 |
| 3.3 模型问题的间接配点法 |
| 3.4 间接配置法的误差估计 |
| 3.4.1 模型的适定性与光滑性 |
| 3.4.2 对v-v_τ的误差估计 |
| 3.4.3 对u-v_τ的误差估讣 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 辅助引理 |
| 3.6.1 广义Gronwall's不等式 |
| 3.6.2 截断误差估计 |
| 3.7 本章小结 |
| 第四章 变分数阶随机微分方程理论与数值方法 |
| 4.1 前言 |
| 4.2 变分数阶随机微分方程解的存在唯一性定理 |
| 4.3 Euler-Maruyama方法和强收敛性 |
| 4.3.1 数值格式 |
| 4.3.2 辅助方程和误差估计 |
| 4.3.3 对于广义Euler-Maruyama数值算法的误差估计 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 广义Euler-Maruyama数值格式的强收敛性 |
| 4.4.2 变分数阶随机微分方程解的图像 |
| 4.5 辅助引理 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 变分数阶随机朗之万方程的理论与数值分析 |
| 5.1 前言 |
| 5.2 引理 |
| 5.3 解的存在唯一性定理 |
| 5.4 数值格式和收敛性分析 |
| 5.4.1 辅助方程及其误差估计 |
| 5.4.2 数值格式的误差估计 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 |
| 作者简介 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景和动机 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 分数阶系统逼近算法研究现状 |
| 1.2.2 分数阶微积分计算的研究现状 |
| 1.2.3 分数阶系统控制输入及非线性项估计的研究现状 |
| 1.2.4 分数阶系统微分估计器的研究现状 |
| 1.3 本文的内容安排 |
| 第2章 基础知识 |
| 2.1 分数阶微积分 |
| 2.1.1 必要的基础函数 |
| 2.1.2 分数阶微积分中的相关定义 |
| 2.2 分数阶系统的数学描述 |
| 2.2.1 分数阶系统的微分方程形式 |
| 2.2.2 分数阶系统的传递函数形式 |
| 2.3 广义调制函数的定义 |
| 2.4 雅各比多项式的定义 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 分数阶系统广义有限维近似算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 问题描述和算法设计 |
| 3.3 MZP方法分析及应用 |
| 3.3.1 广义性分析 |
| 3.3.2 算法描述举例 |
| 3.4 定极点优化 |
| 3.5 数值仿真与分析 |
| 3.5.1 初始函数h(s)分析 |
| 3.5.2 调节参数κ分析 |
| 3.5.3 定极点优化分析 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 分数阶微积分公式新解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 分数阶微积分公式新解 |
| 4.2.1 分数阶积分公式新解 |
| 4.2.2 分数阶微分公式新解 |
| 4.2.3 数值仿真 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 分数阶系统控制输入及非线性项估计 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 分数阶系统控制输入估计 |
| 5.2.1 定理提出 |
| 5.2.2 数值仿真 |
| 5.3 分数阶系统非线性项估计 |
| 5.3.1 算法设计 |
| 5.3.2 数值仿真 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 分数阶线性系统固定阶次微分估计器设计 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 问题描述 |
| 6.3 微分器设计与分析 |
| 6.3.1 微分器设计 |
| 6.3.2 噪声误差分析 |
| 6.4 数值仿真 |
| 6.5 本章小结 |
| 第7章 分数阶系统任意阶次微分估计器设计 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 输入已知的分数阶线性系统微分估计器设计 |
| 7.2.1 微分器设计 |
| 7.2.2 调制函数设计 |
| 7.2.3 数值仿真 |
| 7.3 输入未知的分数阶线性系统微分估计器设计 |
| 7.3.1 微分器设计 |
| 7.3.2 数值仿真 |
| 7.4 输入已知的分数阶非线性系统微分估计器设计 |
| 7.4.1 微分器设计 |
| 7.4.2 数值仿真 |
| 7.5 本章小结 |
| 第8章 结束语 |
| 8.1 主要工作与贡献 |
| 8.2 主要创新点 |
| 8.3 研究前景展望 |
| 8.4 研究心得体会 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的学术活动及研究成果 |
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 国内研究现状 |
| 1.2.2 国外研究现状 |
| 1.3 本文结构安排 |
| 第二章 理论基础 |
| 2.1 狄拉克δ函数 |
| 2.1.1 狄拉克函数δ的定义与性质 |
| 2.2 微分方程基本解 |
| 2.3 格林公式 |
| 2.4 Helmholtz方程 |
| 2.5 高斯积分公式 |
| 2.6 函数空间 |
| 2.7 本章小结 |
| 第三章 三维声波传输外狄利克雷问题 |
| 3.1 问题陈述 |
| 3.2 边界积分方程 |
| 3.3 Galerkin边界元方法 |
| 3.3.1 Galerkin表达式 |
| 3.3.2 边界元方法 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 特殊分解 |
| 3.4.2 局部坐标系 |
| 3.4.3 矩阵产生 |
| 3.4.4 实验模型 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 三维声波传输问题 |
| 4.1 问题描述 |
| 4.2 边界积分方程 |
| 4.3 弱形式 |
| 4.4 Lipschitz边界理论分析 |
| 4.5 Galerkin边界元方法 |
| 4.5.1 边界元方法 |
| 4.6 数值实验 |
| 4.7 本章小结 |
| 第五章 全文总结与展望 |
| 5.1 全文总结 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 边界积分算子的计算 |
| A.1 拉普拉斯算子的单层位势 |
| 摘要 |
| abstract |
| 缩略词表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究课题的背景与意义 |
| 1.2 几类反散射问题数值方法的研究现状 |
| 1.3 贝叶斯方法的研究现状 |
| 1.4 研究内容与创新 |
| 1.5 本论文的结构安排 |
| 1.6 预备知识 |
| 1.6.1 贝叶斯公式 |
| 1.6.2 高斯先验 |
| 1.6.3 抽样算法 |
| 第二章 声波内腔反散射问题的贝叶斯方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 内腔散射问题 |
| 2.2.1 问题模型 |
| 2.3 贝叶斯推断 |
| 2.3.1 先验分布 |
| 2.3.2 后验分布的适定性 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 数据参数 |
| 2.4.2 数值结果 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 声波反传输散射问题的贝叶斯方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 传输散射问题 |
| 3.2.1 问题模型 |
| 3.3 贝叶斯推断 |
| 3.3.1 先验分布的选取 |
| 3.3.2 后验分布的适定性 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 数据参数 |
| 3.4.2 数值结果 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 声波反介质散射问题的贝叶斯与水平集耦合方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 声波介质散射问题 |
| 4.2.1 问题模型 |
| 4.2.2 等价公式 |
| 4.3 贝叶斯水平集反演 |
| 4.3.1 反问题 |
| 4.3.2 贝叶斯推断 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 数据参数 |
| 4.4.2 数值结果 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 弹性波反散射形状重构问题的贝叶斯与水平集耦合方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 弹性波介质散射问题 |
| 5.2.1 问题模型 |
| 5.3 贝叶斯水平集反演 |
| 5.3.1 反问题 |
| 5.3.2 贝叶斯推断 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.4.1 数据参数 |
| 5.4.2 数值结果 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 全文总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 含特殊核的Volterra型积分微分方程的分类 |
| 1.3 国内外研究现状 |
| 1.3.1 含特殊核的Volteira型积分微分方程的研究现状 |
| 1.3.2 重心有理插值配点法的研究现状 |
| 1.4 本文的研究内容 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 重心有理插值的基本理论 |
| 2.2 符号说明及相关引理 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 高阶卷积型积分微分方程的重心有理插值配点法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值离散格式 |
| 3.3 收敛性分析 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 弱奇异核的Volterra型积分微分方程的重心有理插值配点法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 变量变换 |
| 4.3 解的存在唯一性 |
| 4.4 数值离散格式 |
| 4.5 收敛性分析 |
| 4.6 数值算例 |
| 4.7 本章小结 |
| 第五章 结论与展望 |
| 5.1 本文结论 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简介 |
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景和现状 |
| §1.2 研究意义 |
| §1.3 本文的结构及创新点 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 Legendre多项式 |
| §2.2 Jacobi多项式 |
| §2.3 最优控制问题模型 |
| §2.4 谱方法分类及其特征 |
| §2.4.1 Galerkin谱方法 |
| §2.4.2 Tau方法 |
| §2.4.3 配置方法 |
| 第三章 奇异摄动问题的后验误差估计 |
| §3.1 奇异摄动问题模型 |
| §3.2 L~2-加权范数意义下的后验误差估计 |
| §3.3 H~1-范数意义下的后验误差估计 |
| §3.4 数值算例 |
| 第四章 控制变量受限约束最优控制问题的块预处理子设计 |
| §4.1 控制受限最优控制问题模型 |
| §4.2 块预处理子及其稳健性(robust)分析 |
| §4.3 高效迭代算法设计 |
| §4.4 数值算例 |
| 第五章 状态变量受限约束最优控制问题的块预处理子与最优性条件 |
| §5.1 状态变量积分受限模型及其预处理子构造 |
| §5.1.1 状态变量积分受限模型的最优性条件 |
| §5.1.2 块预处理子及其稳健性(robust)分析 |
| §5.1.3 高效迭代算法设计 |
| §5.1.4 数值算例 |
| §5.2 状态变量L~2范数受限模型的最优性条件 |
| 第六章 状态变量积分受限分数阶最优控制问题的谱方法研究 |
| §6.1 分数阶最优控制问题模型 |
| §6.2 先验误差估计分析 |
| §6.3 数值算例 |
| 第七章 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 读博期间发表和完成的论文 |
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 引言 |
| 1.1 课题的背景和意义 |
| 1.1.1 微纳米接触力学的重要性及意义 |
| 1.2 宏观尺度下均匀材料的接触力学研究现状 |
| 1.2.1 均匀弹性材料的接触力学研究现状 |
| 1.2.2 均匀压电材料的接触力学研究现状 |
| 1.3 尺度依赖的接触力学研究现状 |
| 1.3.1 偶应力理论及研究现状 |
| 1.3.2 基于偶应力理论的接触力学研究现状 |
| 1.3.3 基于其它高阶连续介质理论的接触力学研究现状 |
| 1.4 表面依赖的接触力学研究现状 |
| 1.4.1 表面弹性理论和表面压电理论 |
| 1.4.1.1 表面弹性理论 |
| 1.4.1.2 表面压电理论 |
| 1.4.2 基于表面弹性理论的接触力学研究现状 |
| 1.5 分子动力学模拟纳米尺度接触力学的研究现状 |
| 1.6 本文研究的目的和内容 |
| 1.6.1 本文的研究目的 |
| 1.6.2 本文的研究内容 |
| 2 均匀半平面尺度依赖的滑动摩擦接触 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 尺度依赖的摩擦接触问题的基本解 |
| 2.2.1 基于偶应力理论均匀弹性半平面的基本方程 |
| 2.2.2 基于偶应力理论的边界条件和基本解 |
| 2.3 尺度依赖的滑动摩擦接触问题的Cauchy奇异积分方程 |
| 2.4 尺度依赖的滑动摩擦接触问题的求解方法 |
| 2.5 三种典型刚性压头 |
| 2.5.1 刚性平压头 |
| 2.5.2 刚性圆柱压头 |
| 2.5.3 刚性半圆压头 |
| 2.6 面内应力的求解 |
| 2.7 数值结果和讨论 |
| 2.7.1 对比算例 |
| 2.7.2 尺度参数和摩擦系数的影响 |
| 2.8 本章小结 |
| 3 均匀涂层半平面尺度依赖的摩擦接触 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 涂层半平面尺度依赖的摩擦接触问题的基本解 |
| 3.2.1 均匀涂层和半平面的基本方程 |
| 3.2.2 边界条件和基本解 |
| 3.3 尺度依赖的摩擦接触问题的Cauchy奇异积分方程 |
| 3.4 两种典型刚性压头 |
| 3.4.1 刚性平压头 |
| 3.4.2 刚性圆柱压头 |
| 3.5 面内应力的求解 |
| 3.6 涂层半平面尺度依赖的二维有限摩擦接触 |
| 3.6.1 法向加载 |
| 3.6.2 迭代方法 |
| 3.7 数值结果和讨论 |
| 3.7.1 滑动摩擦接触结果 |
| 3.7.2 有限摩擦接触结果 |
| 3.8 本章小结 |
| 4 压电材料表面依赖的二维无摩擦接触 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 问题的描述 |
| 4.2.1 表面压电理论 |
| 4.2.2 压电半平面基体的基本方程 |
| 4.3 表面依赖的边界条件和无摩擦接触问题的积分方程 |
| 4.3.1 基于表面压电理论的边界条件 |
| 4.3.2 基于表面压电理论无摩擦接触问题的积分方程 |
| 4.4 两种典型刚性压头 |
| 4.4.1 刚性平压头 |
| 4.4.2 刚性圆柱压头 |
| 4.5 三种特殊情况下积分方程的求解 |
| 4.5.1 只考虑残余表面应力的影响 |
| 4.5.2 残余表面应力为零且三个表面材料常数不为零的情况 |
| 4.5.3 当残余表面应力不为零时分别考虑三个表面材料常数的影响 |
| 4.6 数值结果和讨论 |
| 4.6.1 残余表面应力的影响 |
| 4.6.2 表面材料常数的影响 |
| 4.7 本章小结 |
| 4.8 本章附录 |
| 附录A |
| 附录B |
| 附录C |
| 附录D |
| 附录E |
| 附录F |
| 5 压电材料表面依赖的轴对称无摩擦接触 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 轴对称接触问题的描述 |
| 5.2.1 压电半空间基体的基本方程 |
| 5.3 表面依赖的边界条件和轴对称接触问题的积分方程 |
| 5.3.1 基于表面压电理论的边界条件 |
| 5.3.2 基于表面压电理论的轴对称接触问题的积分方程 |
| 5.4 两种典型刚性轴对称压头 |
| 5.4.1 刚性平底圆柱压头 |
| 5.4.2 刚性球压头 |
| 5.5 径向应力的求解 |
| 5.6 两种特殊情况下积分方程的求解 |
| 5.6.1 只考虑残余表面应力的影响 |
| 5.6.2 当残余表面应力不为零时分别考虑三个表面材料常数的影响 |
| 5.7 数值结果和讨论 |
| 5.7.1 残余表面应力的影响 |
| 5.7.2 表面材料常数的影响 |
| 5.8 本章小结 |
| 5.9 本章附录 |
| 附录A |
| 附录B |
| 附录C |
| 附录D |
| 6 结论与展望 |
| 6.1 结论 |
| 6.2 创新点 |
| 6.3 进一步的工作展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 学位论文数据集 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 带有柯西核的奇异积分方程的研究现状 |
| 1.3 带有弱奇异核的分数阶积分-微分方程的研究现状 |
| 1.4 主要研究内容及章节安排 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 Chebyshev多项式简介 |
| 2.2 分数阶微分算子的定义及性质 |
| 2.3 Hilbert空间简介 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 求解带有柯西核的分数阶奇异积分-微分方程 |
| 3.1 Chebyshev配点法求解带有柯西核的分数阶奇异积分-微分方程 |
| 3.2 相关理论证明 |
| 3.3 数值算例 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 求解带有弱奇异核的分数阶积分-微分方程 |
| 4.1 Chebyshev配点法求解带有弱奇异核的分数阶积分-微分方程 |
| 4.2 相关理论证明 |
| 4.3 数值算例 |
| 4.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究工作的背景与意义 |
| 1.2 国内外研究历史与现状 |
| 1.3 本文主要工作与结构安排 |
| 第二章 积分方程的一般离散方法 |
| 2.1 配置法 |
| 2.2 伽辽金方法 |
| 2.3 Nystrom方法 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 Laplace方程上的快速傅里叶伽辽金方法 |
| 3.1 快速傅里叶伽辽金方法 |
| 3.2 稳定性和收敛性分析 |
| 3.3 预处理 |
| 3.4 Laplace方程的转换 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 双调和方程上的快速傅里叶伽辽金方法 |
| 4.1 矩阵边界积分方程系统 |
| 4.2 算子的正则性分析 |
| 4.3 双调和方程的转换 |
| 4.4 稳定性和收敛性分析 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 全文总结 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究现状 |
| 1.2 研究动机 |
| 1.3 研究内容及结构安排 |
| 1.4 预备知识 |
| 第二章 M(?)ntz Jacobi正交多项式及其基本逼近结果 |
| 2.1 M(?)ntz Jacobi正交多项式及其性质 |
| 2.2 M(?)ntz Jacobi正交多项式的最佳逼近误差估计 |
| 第三章 几类奇性问题的M(?)ntz谱方法 |
| 3.1 一类积分微分方程和经典Possion方程的M(?)ntz谱方法 |
| 3.2 一类时间分数阶扩散方程M(?)ntz谱方法 |
| 3.3 一类弱奇异Volterra积分方程的M(?)ntz Jacobi谱配置点方法 |
| 第四章 梯度流的一类拓展的SAV的高效数值方法 |
| 4.1 梯度流模型 |
| 4.2 拓展的SAV方法 |
| 4.3 空间谱离散和格式的实现 |
| 4.4 数值结果 |
| 参考文献 |
| 在学期间发表的学术论文与研究成果 |
| 致谢 |
