一类半线性椭圆边值问题的正径向解的存在性和多重解

一、一类半线性椭圆边值问题的正对径解的存在性与多解性（论文文献综述）

汤楠^[1]（2021）在《几类Kirchhoff型椭圆方程组解的存在性研究》文中研究指明本文旨在利用山路定理、Ekeland变分原理、Nehari流形以及纤维环映射等变分方法讨论无界区域RN（N≥ 3）上两类Kirchhoff型偏微分方程组解的存在性.全文共分成四章:第一章说明本文所论方程组的相关研究背景及现状,给出所需要的理论知识.第二章考虑一类无界区域RN（N≥ 3）上的非齐次p-Kirchhoff型偏微分方程组#12其中 λ,μ>0,1<p<N,1<q<p<p（k+1）<α+β<p*=Np/N-pd,0≤a<N-p/p,a≤b<a+1,d=a+1-b>0,M（s）=a+bsk,k≥0.H（x）,h1（x）,h2（x）,l1（x）和l2（x）是连续函数并且能在RN上改变符号.本章运用山路定理、Ekeland变分原理给出所论问题的两个非负解.第三章探讨下列Kirchhoff型偏微分方程组（?）M（s）=k+lsτ,k>0,l≥0,τ>0.本章运用Nehari流形以及纤维环映射方法证明了当参数（λ,μ）属于R2的某个子集时,此方程组至少具有两个正解.第四章对全文作以总结,并展望此后的研究工作.

李其祥^[2]（2020）在《环形区域上含梯度项的椭圆型方程径向解的存在性》文中研究表明本文讨论了环形区域{x ∈<|x|<r2}上含梯度项的椭圆型方程（?）,径向解的存在性,其中,N≥3,f:[r1,r2]×R×R+→R为非线性连续函数.主要工作如下:1.在非线性项满足一次增长条件下,应用全连续算子的Leray-Schauder不动点定理,给出了其径向解的存在性;2.对非线性项f（r,u,η）一边超线性增长的情形,在其关于η满足Nagumo型增长条件下,运用Leray-Schauder不动点定理,给出了其径向解的存在性;3.用上下解方法与截断函数技巧得到了其径向解的存在性;4.在非线性项满足适当的不等式条件下,应用不动点定理[53],获得了该方程正径向解的存在性.在每一部分中,都给出了相应的例子,说明我们的结论的应用性.

唐秀丽^[3]（2019）在《Kirchhoff椭圆方程和方程组的解的存在性及性质》文中研究说明本文主要研究R3上Kirchhoff方程和Kirchhoff系统解的存在性和渐近行为.主要工作分为以下四个部分.首先,考虑一类 Kirchhoff 方程的多解性:-（a+b∫R3丨▽u丨2dx）△u+u=丨u丨p-2u,u∈H1（R3）,其中a>0,b≥0,2<p<6.通过构造一个新的Pohozaev型变分恒等式和约束集,我们证明了方程径向对称解的存在性以及非径向对称解的存在性.此外,非径向对称解u（x1,x2,x3）关于（x1,x2）是径向对称的,关于x3是奇函数.其次,对于一类波动系统的稳定态情形 u,v∈H1（R3）,通过建立变分恒等式和约束集,我们证明了对于as>0,bs≥0（s=1,2）,d≥0,b1+b2+d≠0以及满足2<Q:=p+q<6的p,q>1,该系统有一个基态解,一个径向对称解以及一个非径向对称解.并且,非径向对称解u（x1,x2,x3）及v（x1,x2,x3）关于（x1,x2）是径向对称的,关于x3是奇函数.对于取定的a1>0和a2>0,当b12+b22+d2→0,径向对称解收敛到下面系统的径向对称解-a1△u+u=p/Q丨u丨p-2u丨v丨q,-a2△v+v=q/Q丨u丨p丨v丨q-2v,u,v ∈Hr1（R3）.接下来,对于线性耦合的Kirchhoff型系统 u,v∈H1（R3）,证明了对于as>0,bs≥0（s=1,2）,d≥0,b1+b2+d≠0,2<p<6,以及0<λ<1,该系统有一个基态解,一个径向对称解以及一个非径向对称解.并且,非径向对称解u（x1,x2,x3）及v（x1,x2,x3）关于（x1,x2）是径向对称的,关于x3是奇函数.对于取定的a1>0和a2>0,当b12+b22+d2→0,径向对称解收敛到下面系统的径向对称解-a1△u+u=丨u丨p-2u+λv,-a2△v+v=丨v丨p-2v+λu,u,v∈Hr1（R3）.最后,通过建立一个新的变分约束,证明了a1>0,a2>0;b1>0,b2>0,d≥0;α>1,β>1满足2<α+β=p<6;对于适当的λ,系统存在一个基态解（u,v）∈H1（R3）×H1（R3）,u>0,v>0.这一结果推广了 Lin和Wei（Commun.Math.Phys.255（2005）,629-653）及 Sirakov（Commun.Math.Phys.271（2007）,199-221）的部分成果.当a1=a2及b1=b2,还研究了几种特殊形式解的存在性和不存在性.

邹玉梅^[4]（2019）在《几类非线性微分系统解的存在性和唯一性》文中提出自然界中系统是一种普遍的存在,任何事物和过程都可以看作组织性程度不同的系统.系统科学是以复杂系统为研究对象,研究系统内部或系统间的结构、性质、演化和规律,揭示复杂系统的共性及演化过程中所遵循的共同规律.微分方程是描述系统的重要工具,已广泛用于不同的复杂系统建模,其解的存在性和唯一性一直受到高度重视.通过分析相应微分方程解的各种特性,能够对所研究的系统获得某些定性和定量的认识,能够揭示系统结构、参数与性能特性间的内在联系.20世纪80年代以后,非线性科学和复杂性研究的兴起使得非线性问题迅速成为国际上科学研究的前沿和热点,对非线性泛函分析新方法及其应用的探讨,无疑具有重要的理论意义和应用价值.因此,利用非线性泛函分析对微分方程边值问题解的研究具有非常重要的理论和实践意义.本文研究了几类微分方程边值问题的解,主要研究工作如下:—、几类非线性微分方程边值问题正解的存在性（1）研究了非线性二阶微分方程奇异积分边值问题正解的存在唯一性.提出并证明了Riemann-Stielties积分边值问题的极值原理;验证边值问题属于正锥的任何解的范数都存在正的上下界;将极值原理结合上下解和Schauder不动点理论,在一定假设条件下,建立并证明了Riemann-Stielties积分边值问题正解的存在唯一性定理.（2）研究了具有完全形式的非线性四阶微分方程边值问题正解的存在性.首次给出具有完全形式的四阶微分方程的边值问题的降阶形式,提出并证明了降阶微分方程对应齐次线性方程线性算子的谱理论;将所建立的谱理论与不动点指数结合,当非线性项次线性增长时,本文给出并证明了正解的一个存在性定理,该定理结论是最优的.当非线性项超线性增长时,本文仅考虑包含一阶导数时,利用对应齐次线性方程的谱理论及不动点指数定理,在特定的正锥上得到并证明了解存在性定理且结论是最优的.（3）研究了含有p-Laplacian非线性四阶微分方程边值问题正解的存在性.研究了非线性p-Laplacian四阶微分方程的特征值问题,证明了该齐次算子在锥上存在唯一的正就范特征向量;利用齐次算子对应的第一特征值与不动点指数理论,给出并证明了非线性项在超线性和次线性增长情形下非线性p-Laplacian四阶微分方程正解的存在性,且两种情形下结论都是最优的.二、非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性.（1）研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性.构造了一个新的Banach空间Ce[0,1],在该空间里研究分数阶奇异微分方程的边值问题的唯一解.在分数阶奇异微分方程的非线性函数满足广义Lipschitz条件下,利用Banach压缩映像原理和e-范数得到并证明了分数阶奇异微分方程的边值问题的唯一解定理.该结论适用范围更广且非线性函数所需满足广义Lipschitz条件更易验证.（2）研究了在共振条件下非线性分数阶微分方程积分边值问题解的存在性.将问题转化成抽象算子方程Lx=Nx,证明了算子L是一个指标为零的Fredholm算子;在一定假设条件下,基于Mawhin迭合度理论建立并证明了分数阶微分方程积分边值问题解的存在性定理.三、非线性微分系统耦合积分边值问题解的存在性和唯一性（1）研究了含有导数项的非线性二阶微分系统耦合边值问题解的存在性.提出了非线性含有导数项的二阶微分系统耦合边值问题上-下解和下-上解的定义,利用上-下解和下-上解构造了修正的边值问题;在非线性项满足Nagumo条件下给出并证明了微分系统边值问题解的存在性定理.（2）研究了非线性二阶微分系统耦合边值问题极解的存在性.提出并证明了二阶微分系统耦合边值问题的比较原则;利用Fredholm定理证明了二阶线性微分系统耦合边值问题解的存在性;利用所建立的比较原则和线性方程的存在唯一性定理,在非线性项满足单边Lipschitz条件下,应用单调迭代方法得到并证明了非线性二阶微分系统耦合边值问题极解的存在.四、在乘积空间上研究非线性算子的不动点定理.在乘积空间上,为了建立适用范围更广的不动点定理,本文借助正-1齐次算子和乘积锥上的不动点指数定理,在非线性算子方程组的非线性项存在正1-齐次的强函数和弱函数的条件下,建立并证明了非线性算子方程组一个新的不动点定理.将所建立的不动点定理应用到（p1,p2）-Laplacian微分系统,得到该系统边值问题正解的存在性定理,且该定理允许非线性项具有不同的增长条件.

陈思雨^[5]（2019）在《不定Kirchhoff型椭圆方程边值问题的一些研究》文中研究说明本文主要通过分歧理论和约束变分法,结合一些分析技巧,研究了带有不定非线性项的Kirchhoff型问题解的连通分支结构,解的存在性以及多解性.主要分为以下三章:第一章系统地介绍了本文的研究背景,并给出了分歧理论、变分法等的相关知识.第二章研究带有不定非线性项的Kirchhoff型问题（?）其中Ω是RN中有界光滑的区域,N=2,3,W（x）,V（x）∈L∞（Ω）,a（x）,b（x）∈Cγ（Ω）,γ∈（0,1）,a（x）≥a0>0,a0是常数,b（x）≥0.W在Ω上变号.在适当的条件下,运用局部和全局分歧理论,结合一些分析技巧,包括Rescaling方法、Liouville定理、Crandall-Rabinowitz局部分歧定理和Rabinowitz全局结构定理、椭圆方程特征值理论等,考虑了在V的三种不同情形下（包括V≡0;V不变号且V≡0;V变号）分歧点的存在性以及解集连通分支的局部和全局结构.将以前局部椭圆方程边值问题的相关结果推广到了Kirchhoff型问题上,并将解的先验估计的方法由局部的椭圆方程边值问题推广到了非局部的Kirchhoff型问题上.第三章研究了当a=b=1时带有不定非线性项的上述Kirchhoff型问题解的存在性以及多解性.在适当的条件下,通过变分方法,主要是Nehari流形和Ekeland变分原理,得到了解的存在性以及多解性的结果.推广了K.J.Brown等所得到的一些相关结果.

周承芳^[6]（2019）在《一类带奇异位势的双调和方程解的存在性研究》文中研究说明双调和方程边值问题的研究是椭圆型方程边值问题研究的热点之一.利用变分方法对双调和方程在不同非线性项的情况下,研究其高能解、非平凡解和变号解的存在性、多解性以及特征值问题成为非线性分析在非线性偏微分方程研究中的前沿课题之一.本文利用变分法对下列四阶非线性椭圆方程（即双调和方程）解的存在性展开讨论:（?）其中,N≥5,Δ2是双调和算子,V（x）是奇异位势,且f∈C（RN×R,R）.具体研究内容阐述如下:本文第二章主要考虑在整个空间RN（N≥5）上,在假设非线性项f满足更弱的条件下,通过临界点理论中的Morse理论结合局部环绕的方法证明问题至少存在一个非平凡解.随后利用隐函数构造强形变收缩核结合Hardy-Rellich不等式证明能量泛函满足对称山路引理,从而证明问题非平凡解的多重性.本文第三章是基于第二章进一步探讨和分析问题的解,利用下降流不变集的性质探讨非平凡解的符号,得到问题的正解、负解以及变号解的存在性,这些结果的获取是对已有一些文献中的结果有效的扩展和补充.

秦培歌^[7]（2019）在《具变号权函数的二阶微分系统的可解性》文中指出本硕士论文主要根据Banach空间中的锥理论并结合Guo-Krasnosel′skii不动点定理、不动点指数定理以及不动点指数的性质等理论,讨论了三类含不定权函数的二阶微分系统正解的存在性以及多解性。全文共分为五章,具体如下:第1章介绍了二阶微分系统、p-Laplacian脉冲微分系统和权函数变号的微分系统的研究背景和发展现状,并概述本硕士论文研究的主要工作,并在最后一节中给出本硕士论文主要用到的定义、定理等基础知识。第2章研究了一类权函数变号的n维二阶微分系统正解的存在性。依据锥上的Guo-Krasnosel′skii不动点定理,结合系统中的权函数变号的特点,得到当非线性项满足适当条件时,该n维系统至少存在一个正解的结论。第3章讨论了一类含不定权函数的多参数二阶微分系统多个正解的存在性。根据积分区间的有限可加性,结合变号权函数的特点,克服了系统中由于线性项的增加导致参数取值的困难。按照两个参数λμ,不同的取值,运用锥不动点指数理论,得到该类题目分别有两个正解和三个正解的结论。最后,该章还给出两个例子检验了主要结果的正确性。第4章考察了一类带p-Laplace算子和变号权函数的脉冲微分系统两个正解的存在性。通过构造合适的范数和锥,结合p-Laplace算子的性质,利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理,得到存在两个正解时参数的最优区间。最后,给出一个算例用来说明定理条件的合理性。在第5章中,主要对本硕士论文所获得的结论进行概述,对研究问题的难点以及创新点做了总结,并对接下来的研究工作进行展望。

张黔^[8]（2019）在《非线性Kirchhoff型椭圆边值问题的定性研究》文中研究指明本文重点研究非线性Kirchhoff型椭圆边值问题,这类问题在物理学和生物学中有重要的现实意义与广阔的应用前景.本文探讨含Sobolev临界指数项的Kirchhoff型椭圆边值问题（P1）P3（见绪论）,考察这三类问题正解的相关性质,主要工作体现在如下两个方面:（1）本文研究一类含双重奇异项的Kirchhoff型临界椭圆边值问题（P1）,解决该问题将会遇到三个方面的困难:一是该问题中非局部项的出现使得方程本身不再点点恒等;二是由于该方程所对应的泛函含有Sobolev临界指数,从而方程不满足Palais-Smale紧性条件;三是负指数项的出现导致方程（P1）所对应的能量泛函不可微,并且泛函含有Hardy奇异项,从而导致不能直接应用标准的变分方法处理这类问题.本文通过应用Nehari流形、Lions集中紧性原理、Hardy不等式和Ekeland变分原理克服了上述困难,证明了方程（P1）在适当条件下正解的存在性与多重性.据我们所知,这些结果都还是新的.（2）我们首先考察含Sobolev临界指数项的Kirchhoff型椭圆系统（P2）,该类系统的特点是既含有非局部项又含有强耦合项,从而使得（P2）所对应的能量泛函不满足Palais-Smale紧性条件.其次,我们还研究了一类含齐次抽象项的Kirchhoff型椭圆系统（P3）,该系统中的非局部项和齐次临界抽象项的出现导致该问题更难处理.这使得我们不能应用经典的变分方法来解决这两类问题,本文通过应用Nehari流形、纤维映射、欧拉恒等式、齐次函数的性质以及临界点理论获得了这两类系统正解的存在性结果.上述结果推广和改进了近年来一些学者的研究成果.

范瑶颖^[9]（2017）在《二阶非线性差分方程边值问题的多解性与变号解》文中研究指明近年来,随着科学技术的蓬勃发展,差分方程理论在信息系统、种群生态学、现代物理学、.控制工程等领域中有着普遍的应用.二阶非线性差分方程边值问题解的存在性是差分方程领域中重要的研究方向,因此对其进行探究具有重大的理论意义和较强的应用价值.本文应用下降流不变集方法研究两类二阶非线性差分方程边值问题的多解性与变号解.全文由三章构成,主要内容如下:第一章简述问题产生的背景、本文的主要研究工作以及相关的预备知识.第二章主要讨论在Neumann边界条件下二阶非线性差分方程的多解性与变号解.利用下降流不变集方法并结合变分技巧,我们获得二阶非线性差分方程在Neumann边界条件下存在正解、负解以及变号解的充分条件.最后通过例子说明所得定理的有效性.类似于第二章,在第三章中,我们探讨二阶非线性差分方程在Robin边界条件下多解性与变号解的存在性.最后我们也运用相关例子验证定理的可行性.

廖家锋^[10]（2016）在《几类椭圆边值问题正解的存在性和多重性》文中研究表明本文运用变分方法、Nehari方法和一些分析技巧研究了几类椭圆边值问题正解的存在性和多重性.首先,研究了如下带临界指数的半线性椭圆问题其中Ω（?）Rn（N≥3）是一个具有光滑边界的有界区域,1<g<28,A>0以及28=2N/N-2为Sobolev临界指数.系数函数是一个非零非负函数,q∈C(（Ω）是一个正函数.利用变分方法和Nehari方法获得了问题（0.1）正解的存在性和多重性.其次,研究了如下奇异Neumann边值问题其中Ω（?）RN（N ≥3）是个具有光滑边界的有界区域,λ>0,0<λ<1<p≤2*-1.系数函数为非零非负函数.P也是一个非零非负函数且满足当1<p<28一1时,利用Nehari方法获得了问题（0.2）的两个解；当p=28一1时,利用极小极大方法和一些分析技巧获得了问题（0.2）解的存在性.接下来,研究了如下带奇异项的Kirchhoff型方程其中Ω（?）R3是一个有界区域,a,b,λ,μ>0,0<λ<1利用Nehari方法和极小极大方法获得了问题（0.3）解的存在性和多重性.最后,利用极小极大方法和一些分析技巧研究了如下带奇异项的Kirchhoff型问题解的唯一性其中Ω(?0RN（N≥3）是个有界区域,0<γ<1,λ≥0,0<p≤2*-1,a,b≥0且a+b>0.系数函数在Ω中几乎处处大于零.

二、一类半线性椭圆边值问题的正对径解的存在性与多解性（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、一类半线性椭圆边值问题的正对径解的存在性与多解性（论文提纲范文）

（1）几类Kirchhoff型椭圆方程组解的存在性研究（论文提纲范文）

（2）环形区域上含梯度项的椭圆型方程径向解的存在性（论文提纲范文）

（3）Kirchhoff椭圆方程和方程组的解的存在性及性质（论文提纲范文）

（4）几类非线性微分系统解的存在性和唯一性（论文提纲范文）

（5）不定Kirchhoff型椭圆方程边值问题的一些研究（论文提纲范文）

（6）一类带奇异位势的双调和方程解的存在性研究（论文提纲范文）

（7）具变号权函数的二阶微分系统的可解性（论文提纲范文）

（8）非线性Kirchhoff型椭圆边值问题的定性研究（论文提纲范文）

（9）二阶非线性差分方程边值问题的多解性与变号解（论文提纲范文）

（10）几类椭圆边值问题正解的存在性和多重性（论文提纲范文）

四、一类半线性椭圆边值问题的正对径解的存在性与多解性（论文参考文献）

• [1]几类Kirchhoff型椭圆方程组解的存在性研究[D]. 汤楠. 伊犁师范大学, 2021(12)
• [2]环形区域上含梯度项的椭圆型方程径向解的存在性[D]. 李其祥. 西北师范大学, 2020(01)
• [3]Kirchhoff椭圆方程和方程组的解的存在性及性质[D]. 唐秀丽. 福建师范大学, 2019(04)
• [4]几类非线性微分系统解的存在性和唯一性[D]. 邹玉梅. 山东科技大学, 2019(06)
• [5]不定Kirchhoff型椭圆方程边值问题的一些研究[D]. 陈思雨. 江苏师范大学, 2019(12)
• [6]一类带奇异位势的双调和方程解的存在性研究[D]. 周承芳. 南华大学, 2019(01)
• [7]具变号权函数的二阶微分系统的可解性[D]. 秦培歌. 北京信息科技大学, 2019(09)
• [8]非线性Kirchhoff型椭圆边值问题的定性研究[D]. 张黔. 重庆邮电大学, 2019(02)
• [9]二阶非线性差分方程边值问题的多解性与变号解[D]. 范瑶颖. 广州大学, 2017(02)
• [10]几类椭圆边值问题正解的存在性和多重性[D]. 廖家锋. 西南大学, 2016(01)